jsfiddleで動作するコード

JS：

document.getElementById("sid").onchange= function(){

    if(this.value == 'Other'){
       document.getElementById("other").style.display = '';
    }
    else{
          document.getElementById("other").style.display = 'none';
    }
}​

HTML：

<select id='sid'>
<option>1</option>
<option>2</option>
<option>Other</option>
</select>
<input id='other' style='display:none' /> ​

例jsfiddle

HTML

<select id="aDropDown">
    <option value=1>1</option>
    <option value=2>2</option>
    <option value=3>3</option>
    <option value=other>Other</option>
</select>
<p id="aDropDownOther" class="other-label">Other Label</p>​

JS

var ele_aDropDownOther = document.getElementById('aDropDownOther');

document.getElementById('aDropDown').onchange = function() {
    if (this[this.selectedIndex].value === "other") {
        ele_aDropDownOther.style.display = "block";
    } else {
        ele_aDropDownOther.style.display = "";
    }
}​

CSS

.other-label {display:none;}​

または同様にjQueryを使用

例jsfiddle

JavaScript/jQuery

var $aDropDown = $('#aDropDown'),
    $aDropDownOther = $('#aDropDownOther');

$aDropDown.change(function() {
    if ($aDropDown.val() === "other") {
        $aDropDownOther.show();
    } else {
        $aDropDownOther.hide();
    }
});​

CSS を使用してこれを実現できます。このページhttp://www.coderanch.com/t/112986/HTML-CSS-JavaScript/Show-hidden-text-fieldを試してください。

select タグに onchange="changed()" 属性を追加できます。次に、changed という JavaScript 関数を作成します。

残りは Jquery を使用します。

例えば

function changed() {
    if($('#idOfSelect').val() == "Other") {
        $('#idOfSelect').after("<textbox>bla bla</textbox>");
    }
}

そんな感じ。