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行列形式の入出力関数が与えられた場合：

|y1|   =  |p1  p2|   |x1|     |p5| 
|y2|    = |p3  p4| * |x2|  +  |p6|

p1−p6ガウス・ニュートン法を使用して最小二乗誤差を最小化したい。100個の測定値があるとします。私の質問は、残余ベクトルの計算とサイズについてです。

|r1|   |y1|  ( |p1  p2|   |x1|   |p5| )
|r2| = |y2| -( |p3  p4| ∗ |x2| + |p6| )

r i =出力− f（入力、パラメーター）

err = Sum（r i 2）

最小化されたエラーでパラメータを計算するために、次のようになります。

p i + 1 = pi +Δ

Δ=（J T * J）-1 * J T * r i

それぞれのサイズは次のようになります。

入力ベクトル（x）：100x2

出力ベクトル（y）：100x2

resuidual（r）：100x2

ジャコビアン（J）：100x6

パラメータ（pi）：6x1（6つのパラメータ）

ご覧のとおり、Δのサイズは6x2になりp_i+1 ますが、これはと一致していないようです。残余ベクトルの計算プロセスは正しいですか？はいの場合、パラメータのベクトルをどのように計算できますか？そうでない場合、正しい答えは何ですか？

もう1つは、Jパラメーター行列に関する計算方法（Jacobian）です。

どうもありがとう。

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デルタベクトルはパラメータベクトルと同じサイズです。

実際、この場合、完全な最小二乗法を実行せずにパラメーターを解くことができます。残念ながら、私はWebで参照を見つけることができなかったので、方法を説明しようとしました。

N点Y[]とN点X[]が与えられた場合、誤差Sが可能な限り小さくなるように、行列Mとベクトルtを見つけたいと思います。

S = Sum{ i | (Y[i]-M*X[i]-t)'*(Y[i]-M*X[i]-t)}

（'は転置です）。

ドリルは次のとおりです。

a / Y[]の平均Y^を計算し、それを各Y [i]から減算して、y[i]を取得します。

b / X[]の平均X^を計算し、それを各X [i]から減算して、x[i]を取得します。

c/行列を計算する

A = Sum{ i | y[i]*x[i]'}

と

C = Sum{ i | x[i]*x[i]'}

d / Cが反転可能でない場合（つまり、すべてのX []が1行にある場合）、少し行き詰まっているか、少なくともこのメソッドは失敗します。それ以外の場合は計算します

M = A*inverse(C)

e /最後に、計算

t = Y^-M*X^

なぜこれが機能するのですか？

まず、Mを固定と考えると、Sを最小化するtがY [i] -M *X[i]の平均にすぎないことが簡単にわかります。したがって、Mを見つけるときにこのtを使用することもできます。Sの式にtを代入すると、次のようになります。

S = Sum{ i | (y[i]-M*x[i])'*(y[i]-M*x[i])}

ここで、Tr（）が、行列をそのトレース（対角要素の合計）にマップする関数を表すとします。非常によく役立つトリックは、ベクトルvに対して次のことです。

v'*v = Tr( v'*v) = Tr( v*v')

これをSに適用し、製品を拡張すると、次のようになります。

S = Sum{ i | y[i]'*y[i]} - Tr( A*M') - Tr( M*A') + Tr( M*C*M')

Cが可逆である場合、平方を完成させて次のようになります（ここでは、D = reverse（C））

S = Sum{ i | y[i]'*y[i]} - Tr( A*D*A') + Tr( (M-A*D)*C*(M-A*D)'}

最初の2つの用語はMに依存しません。3番目は負になることはなく、M = A*Dを選択することでゼロにすることができます。

于 2012-10-29T17:54:19.873 に答える