math - 正確に4つのファクトリオン数しか存在しないという証拠？

Question

40585が存在する最大のファクトリオンである理由を理解するのに苦労しています。なぜこれ以上のものがないのですか？

ウィキペディアは、「これはd≥8では成り立たない」と述べています。言い換えると、7桁を超えるファクトリオンは存在できません。

しかし、これはどのように知られていますか？どうすればそれを証明できますか？非常に多くの数、おそらくまだテストされていない数についてはどうでしょうか。

Answer 1

d =7 の場合、

10 ⁶ = 1,000,000 ≤ n ≤ 2,540,160 = 9!∙7

実際には因数ではないにもかかわらず、この不等式を満たすいくつかのnが存在します。d =8 の場合、次のようになります。

10 ⁷ = 10,000,000 ≤ n ≤ 2,903,040 = 9!∙8

左辺はすでに右辺よりも大きいため、両方の不等式を同時に満たすnの値はありません。左辺はdで指数関数的に増加し、右辺は直線的にのみ増加するため、左辺は右辺よりもはるかに速く増加するため、問題はより劇的になります。

2 つの境界の理由は単純です。数値には少なくともd桁が必要であり、その桁数の最小の数値は 10 ^{d -1}です。一方、それはd個の階乗の合計であり、それぞれが 1 桁であり、その方法で得られる最大の階乗は 9! です。したがって、不平等。