更新: scipy.sparse を使用して実装を追加
これにより、 の順序で解が得られN_max,...,N_0,M_max,...,M_1ます。
解く線形システムは の形状A dot x == const 1-vectorです。
x求められている解ベクトルです。ここで、 となるように方程式を
並べました。
次に、4 つのブロック行列から係数行列を作成します。xN_max,...,N_0,M_max,...,M_1
A
n=50これは、係数行列を導き出し、ブロック構造を理解する方法を示す事例のスナップショットです。係数行列Aは水色、定数の右側はオレンジ色です。求められている解ベクトルxはここでは薄緑色で、列のラベル付けに使用されています。最初の列は、上記の式のどれからのものかを示しています。行 (= 式) が導出されました。
Jaime が示唆したように、掛けるnとコードが改善されます。これは上のスプレッドシートには反映されていませんが、以下のコードに実装されています。
numpy を使用した実装:
import numpy as np
import numpy.linalg as linalg
def solve(n):
# upper left block
n_to_M = -2. * np.eye(n-1)
# lower left block
n_to_N = (n * np.eye(n-1)) - np.diag(np.arange(n-2, 0, -1), 1)
# upper right block
m_to_M = n_to_N.copy()
m_to_M[1:, 0] = -np.arange(1, n-1)
# lower right block
m_to_N = np.zeros((n-1, n-1))
m_to_N[:,0] = -np.arange(1,n)
# build A, combine all blocks
coeff_mat = np.hstack(
(np.vstack((n_to_M, n_to_N)),
np.vstack((m_to_M, m_to_N))))
# const vector, right side of eq.
const = n * np.ones((2 * (n-1),1))
return linalg.solve(coeff_mat, const)
scipy.sparse を使用したソリューション:
from scipy.sparse import spdiags, lil_matrix, vstack, hstack
from scipy.sparse.linalg import spsolve
import numpy as np
def solve(n):
nrange = np.arange(n)
diag = np.ones(n-1)
# upper left block
n_to_M = spdiags(-2. * diag, 0, n-1, n-1)
# lower left block
n_to_N = spdiags([n * diag, -nrange[-1:0:-1]], [0, 1], n-1, n-1)
# upper right block
m_to_M = lil_matrix(n_to_N)
m_to_M[1:, 0] = -nrange[1:-1].reshape((n-2, 1))
# lower right block
m_to_N = lil_matrix((n-1, n-1))
m_to_N[:, 0] = -nrange[1:].reshape((n-1, 1))
# build A, combine all blocks
coeff_mat = hstack(
(vstack((n_to_M, n_to_N)),
vstack((m_to_M, m_to_N))))
# const vector, right side of eq.
const = n * np.ones((2 * (n-1),1))
return spsolve(coeff_mat.tocsr(), const).reshape((-1,1))
例n=4:
[[ 7.25 ]
[ 7.76315789]
[ 8.10526316]
[ 9.47368421] # <<< your result
[ 9.69736842]
[ 9.78947368]]
例n=10:
[[ 24.778976 ]
[ 25.85117842]
[ 26.65015984]
[ 27.26010007]
[ 27.73593401]
[ 28.11441922]
[ 28.42073207]
[ 28.67249606]
[ 28.88229939]
[ 30.98033266] # <<< your result
[ 31.28067182]
[ 31.44628982]
[ 31.53365219]
[ 31.57506477]
[ 31.58936225]
[ 31.58770694]
[ 31.57680467]
[ 31.560726 ]]