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s15.16 固定小数点数の平方根を計算する関数を書きたいと思います。15 桁の整数と 16 桁の小数を持つ符号付きの数値であることはわかっています。ライブラリなしでそれを行う方法はありますか？他の言語でも構いません。

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あなたが使用しているプラ​​ットフォームが浮動小数点を提供していないため、この質問をしていると思います。それ以外の場合は、次のように浮動小数点平方根を介して 15.16 固定小数点平方根を実装できます (これは C コードです。Java コードは非常によく似ています):

int x, r;
r = (int)(sqrt (x / 65536.0) * 65536.0 + 0.5);

ターゲット プラットフォームが高速な整数乗算 (特に、倍幅の結果を伴う乗算または上位乗算命令のいずれか) を提供し、小さなテーブル用にいくらかのメモリを確保できる場合は、ニュートン ラフソン反復とテーブルを使用します。ベースの開始近似は、通常、進むべき道です。通常、より便利な NR 反復があるため、逆平方根を近似します。これにより、rsqrt(x) = 1 / sqrt(x) が得られます。これに x を掛けると、平方根が得られます。つまり、sqrt(x) = rsqrt(x) * x です。次のコードは、この方法で正しく丸められた 16.16 固定小数点の平方根を計算する方法を示しています (平方根への引数は正でなければならないため、これは s15.16 固定小数点でも同様に機能します)。丸めは、残差 x - sqrt(x)*sqrt(x) を最小化することによって実行されます。

平方根関数自体が 32 ビット x86 インライン アセンブリ コードであることをお詫びしますが、これが最後に必要だったのは約 10 年前で、これだけしかありません。かなり広範なコメントから関連する操作を抽出できることを願っています。開始近似のためのテーブルの生成と、関数を徹底的にテストするテスト フレームワークを含めました。

#include <stdlib.h>
#include <math.h>

unsigned int tab[96];

__declspec(naked) unsigned int __stdcall fxsqrt (unsigned int x)
{
  __asm {
    mov    edx, [esp + 4]      ;// x
    mov    ecx, 31             ;// 31
    bsr    eax, edx            ;// bsr(x) 
    jz     $done               ;// if (!x) return x, avoid out-of-bounds access

    push   ebx                 ;// save per calling convention
    push   esi                 ;// save per calling convention
    sub    ecx, eax            ;// leading zeros = lz = 31 - bsr(x)
    // compute table index
    and    ecx, 0xfffffffe     ;// lz & 0xfffffffe
    shl    edx, cl             ;// z = x << (lz & 0xfffffffe)
    mov    esi, edx            ;// z
    mov    eax, edx            ;// z
    shr    edx, 25             ;// z >> 25
    // retrieve initial approximation from table
    mov    edx, [tab+4*edx-128];// r = tab[(z >> 25) - 32]
    // first Newton-Raphson iteration
    lea    ebx, [edx*2+edx]    ;// 3 * r
    mul    edx                 ;// f = (((unsigned __int64)z) * r) >> 32
    mov    eax, esi            ;// z
    shl    ebx, 22             ;// r = (3 * r) << 22
    sub    ebx, edx            ;// r = r - f
    // second Newton-Raphson iteration
    mul    ebx                 ;// prod = ((unsigned __int64)r) * z
    mov    eax, edx            ;// s = prod >> 32
    mul    ebx                 ;// prod = ((unsigned __int64)r) * s
    mov    eax, 0x30000000     ;// 0x30000000
    sub    eax, edx            ;// s = 0x30000000 - (prod >> 32)
    mul    ebx                 ;// prod = ((unsigned __int64)r) * s
    mov    eax, edx            ;// r = prod >> 32
    mul    esi                 ;// prod = ((unsigned __int64)r) * z;
    pop    esi                 ;// restore per calling convention
    pop    ebx                 ;// restore per calling convention
    mov    eax, [esp + 4]      ;// x
    shl    eax, 17             ;// x << 17
    // denormalize
    shr    ecx, 1              ;// lz >> 1
    shr    edx, 3              ;// r = (unsigned)(prod >> 32); r >> 3
    shr    edx, cl             ;// r = (r >> (lz >> 1)) >> 3
    // round to nearest; remainder can be negative
    lea    ecx, [edx+edx]      ;// 2*r
    imul   ecx, edx            ;// 2*r*r
    sub    eax, ecx            ;// rem = (x << 17) - (2*r*r))
    lea    ecx, [edx+edx+1]    ;// 2*r+1
    cmp    ecx, eax            ;// ((int)(2*r+1)) < rem))
    lea    ecx, [edx+1]        ;// r++
    cmovl  edx, ecx            ;// if (((int)(2*r+1)) < rem) r++
  $done:
    mov    eax, edx            ;// result in EAX per calling convention
    ret    4                   ;// pop function argument and return
  }
}

int main (void)
{
  unsigned int i, r;
  // build table of reciprocal square roots and their (rounded) cubes
  for (i = 0; i < 96; i++) {
    r = (unsigned int)(sqrt (1.0 / (1.0 + (i + 0.5) / 32.0)) * 256.0 + 0.5);
    tab[i] = ((r * r * r + 4) & 0x00ffffff8) * 256 + r;
  }
  // exhaustive test of 16.16 fixed-point square root
  i = 0;
  do {
    r = (unsigned int)(sqrt (i / 65536.0) * 65536.0 + 0.5);
    if (r != fxsqrt (i)) {
      printf ("error @ %08x: ref = %08x  res=%08x\n", i, r, fxsqrt (i));
      break;
    }
    i++;
  } while (i);
}
于 2013-03-03T07:48:54.053 に答える
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お気に入りの整数平方根アルゴリズムを使用して、√(2 -16 a) = 2 -8 √aという単純な観察を行います。

于 2013-03-03T05:23:41.300 に答える