math - 方程式は幾何学で(直感的に)何を表していますか?

Question

双一次補間法を書いています。

このメソッドは、方程式 A*x = b を解くことで抽象化できます。A は以下の 4x4 行列です。

1 x1 y1 x1*y1
1 x2 y2 x2*y2 
1 x3 y3 x3*y3
1 x4 y4 x4*y4

ここで、(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)、(x4, y4) は dst 補間点を含む 4 点です。

私の問題は、det(A) = 0(then x! = A-1*b) の場合、四角形はどのように見えるか?

Answer 1

行または列の 1 つが他の行または列の線形結合として表現できる場合、行列式は 0 になります。列を使用すると、この方程式は、4 つの点のそれぞれについて、いくつかの定数 a、b、c に対して成立する必要があります。

a*1 + b*x + c*y + xy = 0

これは、軸に平行な漸近線を持つ双曲線の方程式であるため、4 つの点が同じ双曲線上にある場合に限り、行列式はゼロになります。

たとえば、四角形 (-2, -1)、(-1, -2)、(1, 2)、(2, 1) を選択すると、点が t によって定義される双曲線上にあるため、行列式はゼロになります。 → (t, 2/t)。

別の見方をすると、任意の 3 つのポイントを自由に選択できます。3 つの点は、固有の双曲線を定義します。その双曲線から 4 番目の点を選択した場合にのみ、行列式は 0 になります。

Answer 2

上記のジョニの答えは完全に正しいですが、あなたが好きかもしれない物理的な解釈は次のとおりです。

次の 4 つのポイントによって定義される行儀の良い四角形として正方形を想像してください: 1 = (0,0)、2 = (1,0)、3 = (1, 1)、および 4 = (0, 1)。

ポイント 1 と 2 を固定し、ポイント 3 を右に引っ張って、辺の長さが同じままで、x 軸とポイント 2 と 3 の間の線分の間の角度が 90 から変化するように、傾斜させ始めると、度から 180 度に変化し、x 軸とポイント 1 と 4 の間の線分との間の角度が 90 度から 0 に変化すると、角度が増加するにつれて行列式はゼロに近づきます。ポイント 1 = (0,0)、2 = (1, 0)、3 = (2,0)、および 4 = (1,0) がある場合、クワッドは線分に折りたたまれ、行列式は次のようになります。ゼロ。

マトリックスでこの実験を実行して、私が正しいかどうかを確認できます。