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次の問題は、数日間私を困惑させてきました (注意: これは宿題ではありません)。

合計が 9 になる 2 つの等比数列が存在します。それらの第 2 項 (t2) の値は 2 です。

  1. 公比 (r) を求める
  2. それぞれの最初の要素 (t1) を見つけます

(1) の答えは 2/3 と 1/3 で、(2) の答えはそれぞれ 3 と 6 です。残念ながら、これらがどのように派生したのか理解できません。

(1) への取り組みで、次のように代数代入を適用して r を解決しようとしました。

t2 = t1*r; since t2 = 2 we have:
t1 = 2/r

極限に収束するシーケンスの合計 (S) を計算する式は、次のようになります。

S  = t1 / (1 - r)

そこで、t1 の値を S に代入して、次のように r を解こうとしました。

9 = (2/r) / (1-r)
9(1-r) = 2/r
2/9 = r(1-r)

残念ながら、この時点から行き詰まります。r の 1 つを削除する必要がありますが、できないようです。

次に、数列の最初の 2 項 (S2) を合計する式を使用して r を解くことを考えました。

S2 = (t1 (1-r^2)) / (1-r)
t1 + 2 = (t1 (1-r^2)) / (1-r)

しかし、これを拡張すると、同じ問題に再び遭遇します（rの1つを排除できません）。

だから私は2つの質問があります：

  1. rを導出するときに何が間違っていますか?
  2. その値の 1 つを取得したら、もう 1 つの値をどのように導き出すのでしょうか?
4

2 に答える 2

4

2/9 = r(1-r)

残念ながら、この時点から私は行き詰まります。rの1つを削除する必要がありますが、削除できないようです。

あなたは因数分解することを学ぶ必要があります！

2/9 = r(1-r)
2/9 = r - r^2
2 = 9r - 9r^2
9r^2 - 9r + 2 = 0
(3r)^2 - 3(3r) + 2 = 0

簡単にするために、R=3rとします。

R^2 - 3R + 2 = 0
(R - 1)(R - 2) = 0

so 3r - 1 = 0, or 3r - 2 = 0
i.e. r = 1/3 or r = 2/3.

そして、最初の項は2 /（1/3）= 6、または2 /（2/3）=3です。

QED！

于 2009-10-27T03:24:55.723 に答える
2

2/9 = r (1 - r )

これをax 2 + bx + cと書き直して、2 次式を使用して解きます。

2/9 = r - r 2
r 2 - r + 2/9 = 0

二次式を使用すると、根は次のようになります。
[-1 ± √(1 - 8/9)] / 2
= (1 ± 1/3) / 2
= 1/2 ± 1/6
= 1/3 または 2/3

編集：ああ、私はプラス/マイナスと平方根の書き方を理解するのに時間がかかりすぎました. :-P

于 2009-10-27T03:35:38.593 に答える