3d - 四面体の高さの頂点

Question

不規則な四面体の頂点座標 A(x1,y1,z1) B(x2,y2,z2) C(x3,y3,z3) D(x4,y4,z4) が与えられた場合、3D 座標 h(x 、y、z) 頂点 A からの高さ。多くの Google 検索の後、高さの頂点ではなく、重心座標のみを見つけることができました。助けてください。

Answer 1

3 点 B、C、D は平面a*x+b*y+c*z-d=0を定義します。

a = y2 * (z3 - z4) + y3 * (z4 - z2) + y4 * (z2 - z3)
b = z2 * (x3 - x4) + z3 * (x4 - x2) + z4 * (x2 - x3) 
c = x2 * (y3 - y4) + x3 * (y4 - y2) + x4 * (y2 - y3) 
d = x2 * (y3 * z4 - y4 * z3) + x3 * (y4 * z2 - y2 * z4) + x4 * (y2 * z3 - y3 * z2)

(mathworld の式 (18) から派生) この平面の法線ベクトルは (a,b,c) です。

H ポイント - 頂点 A からの高さ。したがって、AH ベクトルは BCD 平面に垂直であり、H は平面 BCD にあります。H = (x1+k*a, y1+k*b, z1+k*c) であり、これらの座標を平面方程式に代入し、k 係数を解き、H ポイント座標を計算するだけです。

置換:a*(x1+k*a) + b*(y1+k*b)+c*(z1+k*c)-d=0