テイラー級数 (わからない場合に備えて以下で説明) を n 次まで評価するプログラムを作成しようとしています。ただし、これを行うには、( に保持しているY1) 関数とその n 次導関数を評価する必要があります。、などに文字列として使用nDerivして保存しようとしましたが、TI-84 では一度に 2 つ以上スタックすることはできません。これを回避する方法はありますか？Y2Y3
O f^(n)(a)
f(x) ≈ Σ (-------- (x-C)^n)
n=0 n!
ここOで、 は系列の次数 (値が大きいほど、より正確な結果が得られます) であり、「その値f^(n)(a)における関数の n 次導関数」を意味し、推定する定数です。faC
免責事項: 私はもう TI 電卓を所有していません。これは、ほぼ 7 年前に同様の問題に直面したときに行った実験に基づいています。答えの数学は正しいはずですが、電卓に固有の小さなことについては間違っている可能性があります。
まず、あなたの計算を正すべきだと思います。x=a における関数 f(x)のテイラー級数の定義は、
∞ f^(n)(a)
f(x) ≈ Σ (-------- (x-a)^n)
n=0 n!
C はどこにも関与しておらず (テイラー多項式リマインダー定理を考えていたかもしれませんが、これは別のことです)、合計はすべての非負の整数 n を超えています。もちろん、TI-84 でこのような無限級数を計算することは期待できませんが、級数を切り捨てて、N 次のテイラー多項式を与えることができます。
O f^(n)(a)
f(x) ≈ Σ (-------- (x-a)^n)
n=0 n!
これは、合計が有限であるため、実際に数値的に計算することを期待できるものです。もちろん、n=0,1,...,O の n 次導関数を計算すればよいので、これからはそれに焦点を当てます。とにかくこれはあなたが望んでいたものだと思いますが、「テイラー級数」という用語は常に無限級数を示しますが、テイラー多項式は合計が有限である場合に使用されます。
nDeriv を任意にネストすることはできません。このドキュメンテーション サイトによると、1 レベルの深さでネストすることができますが、以前のモデルではこれでも許可されない場合があったことを覚えています。ただし、nDeriv は導関数を数値的に計算するだけであり、使用される式は nDeriv(f(t),t,x[,h])) = (f(x+h)-f(xh))/(2h) です。ここで、h=0.001 がデフォルト値です。これをシンボリックに再帰的に適用して、高次導関数の式を取得できます。
f^(2)(x)=(f(x+2h)-2f(x)+f(x-2h))/(2h)^2
f^(3)(x)=(f(x+3h)-3f(x+h)+3f(x-h)-f(x-3h))/(2h)^3
そして一般的に：
n n (-1)^m f(x+(n-2m)h)
f^(n)(x) = Σ ( ) ---------------------
m=0 m (2h)^n
合計内の奇妙にフォーマットされているのは、二項係数 ( n nCr mTI-84 の場合) です。これは TI Basic で計算でき、電卓で nDeriv を任意にネストできる場合に得られる最終結果と同等です (少なくともマシン精度の影響が重要になるまでは)。
適切な値が見つかるまで、おそらく h some をいじりたいと思うでしょう (異なる次数導関数では、異なる h の値を使用したいかもしれません)。残念ながら、特に電卓のような低精度のデバイスでは、数値微分を行うのは当然困難です。これは、非常に近い 2 つの数値を減算して非常に小さな数値を取得し、別の非常に小さな数値で除算するためです。高次導関数の場合、事態は悪化するだけです。いくつかの単純な関数では、電卓の精度が十分でないため、意味のあるものを取得することが不可能になる前に、4 つまたは 5 つの導関数を取得できたことを覚えています。
ちなみに、上記の方法が十分に正確でないことがわかった場合は、上記の方法よりも優れた方法を使用した数値微分に関する文献がたくさんあります。開始するのに適した場所は、有限差分法に関するウィキペディアの記事であり、上記の式はその (特に適切ではない) 例です。いずれにせよ、機械精度の問題に遭遇することになりますが、より洗練された方法を使用すると、少なくとも機械精度の影響が重要になるまで精度が向上します。