HTML5 Fullscreen API を使用して、ブラウザ ウィンドウをフルスクリーンに設定することができます。あなたが言及したウェブサイトがこのアプローチを使用しているかどうかはわかりません。
これはまだ標準ではないため、ベンダー プレフィックスが必要になります。CANIUSEでブラウザー サポートのレベルを確認できます。また、HTML5 Rocks には短いチュートリアルのFullscreen API があります。
編集:コードで回答を更新しました。
予想通り、この Web サイトは HTML5 Fullscreen API を使用しています。ページwhich_popup.phpの以下のコードを参照してください。
function popup_(url, isOnClick) {
var is_popup_activated_domain = getCookieA('haaretz');
if (is_popup_activated_domain == "" && the_cookie == "") {
    if (isOnClick) {
        setCookieA('haaretz', 'yes', 14400);
        the_cookie = 'yes';
    }
    var chrome_full = false;
    if (document.documentElement.webkitRequestFullscreen) {
        document.documentElement.webkitRequestFullscreen(Element.ALLOW_KEYBOARD_INPUT);
        chrome_full = true;
    }
    //....
    if (chrome_full) {
        document.webkitCancelFullScreen();
    }
}
}
基本的に、テキストのクリックイベントをリッスンし、ブラウザーをフルスクリーンに設定してからポップアップを開くため、ポップアップもフルスクリーンになります。必要な API メソッドは、フルスクリーン モードを有効にするためのwebkitRequestFullscreenと、フルスクリーン モードを終了するためのwebkitCancelFullScreenです。