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論文「非局所拡散演算子の特殊なケースとしての有界ドメイン上の分数ラプラシアン演算子」。著者が非局所拡散方程式として有界ドメインの分数ラプラシアン方程式を解いたところ。

matlabで1次元問題の有限要素近似を実装しようとしています(上記の論文の14ページを参照してください)。

$\phi$ が a$hat\;function$ \begin{equation} \phi_{k}(x)=\begin{cases} {x-x_{k-1} \over x_k\,-x_{k-1}} & \mbox{ if } x \in [x_{k-1},x_k], \\ {x_{k+1}\,-x \over x_{k+1}\,-x_k} & \mbox{ if } x \in [x_k,x_{k+1}], \\ 0 & \mbox{ otherwise},\end{cases} \end{equation}

$\Omega=(-1,1)$ と $\Omega_I=(-1-\lambda,-1) \cup (1,1+\lambda)$ なので $\Omega\cup\Omega_I=(-1 -\lambda,1+\lambda)$

整数 K,N に対して、$\overline{\Omega\cup\Omega_I}=[-1-\lambda,1+\lambda]$ の分割を次のように定義します。

\begin{equation} -1-\lambda=x_{-K}<...

最後に、いくつかの係数 $U_j$ に対する解 $\tilde{u_N}=\sum_{i=-K}^{K+N}U_j\phi_j(x)$ を得るために解かなければならない方程式は次のとおりです。

ここに画像の説明を入力

$i=1,...,N-1$.

matlab で LHS 二重積分を単純化して解決するには、ポインターが必要です。論文 (15 ページ) には、内積分には 4 点ガウス求積関数を、外積分には quadgk.m 関数を使用する必要があると書かれていますが、限界があるため内部積分の x に関しては、どうすれば 4 点ガウス求積法を適用できますか??.どんな助けも感謝します。ありがとう。

ここで元の質問を見つけることができます（SOはLatexをサポートしていないため）

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問題の最初の刺し傷として、dblquadおよび/またはを見てくださいquad2d。

最終的には、カスタムの直交法が必要になるため、次のようにする必要があります。

% The integrand is of course a function of both x and y
integrand = @(x,y) (phi_j(y) - phi_j(x))*(phi_i(y) - phi_i(x))/abs(y-x)^(2*s+1);

% The inner integral is a function of x, and integrates over y
inner = @(x) quadgk(@(y)integrand(x,y), x-lambda, x+lambda);

% The inner integral is integrated over x to yield the value of the double integral 
dblIntegral = quadgk(inner, -(1+lambda), 1+lambda)

ここでquadgk2 回使用しましたが、他の (カスタム) 直交法に置き換えることができます。

ところで、著者が (非適応の) 4 点ガウス法を提案する理由は何ですか? そうすれば、内部積分で発生したエラーを推定（および/または制御）することはできません...

于 2013-10-21T07:17:01.327 に答える