math - 2d の 3 点の面積は行列式に等しい

Question

線分 ( pq) とrそれに近い点があるとします。pqr三角形の面積が に等しいことをどのように示すことができますか|D|/2:

もしも

          |1   px     py |
  D = det |1   qx     qy |
          |1   rx     ry |

p=(px,py), q=(qx,qy), r=(rx,ry).

Answer 1

ベクトルPQとを考えPRます。

vector PQ = (qx-px, qy-py, 0)
vector PR = (rx-px, ry-py, 0)

三角形の面積は、次のクロス積公式PQをPR使用して記述できます。

Area = 1/2 |PR| · |PQ| · sin(theta)     # theta = included angle between PR and PQ
     = 1/2 |PR ⨯ PQ|

そして、この外積は行列式で書くことができます:

             |               |
2·Area = det |rx-px   ry-py   0|
             |qx-px   qy-py   0|

       = abs((rx-px)·(qy-py) - (qx-px)·(ry-py))

       = abs(rx·qy - rx·py - px·qy + px·py - qx·ry + qx·py + px·ry - px·py)
                                     ^^^^^                           ^^^^^
       = abs(rx·qy - rx·py - px·qy - qx·ry + qx·py + px·ry)
             ^^^^^   ^^^^^   ^^^^^   ^^^^^   ^^^^^   ^^^^^
             term1   term2   term3   term4   term5   term6 

一方、投稿した決定要因は展開することもできます。

    |1   px   py |
det |1   qx   qy | = abs(qx·ry - rx·qy + rx·py - px·ry + px·qy - qx·py)
    |1   rx   ry |       ^^^^^   ^^^^^   ^^^^^   ^^^^^   ^^^^^   ^^^^^
                         term4   term1   term2   term6   term3   term5

そう

             |1   px   py |
2·Area = det |1   qx   qy |
             |1   rx   ry |

Answer 2

スペースが面積を意味する場合、三角形の面積は底辺を高さで割った値であることに注意してください。底辺は、p から q までの距離、高さ、四角形 pq から点 r までの距離です。方程式を書き留めれば、それが得られます。