math - 3D 空間で任意に変換された正三角形の法線

Question

出発点を見つけることができないように見える問題があります。答えを得るのに十分なほどうまく説明できるかどうかさえわかりません。

三角形の点を事前に知らなくても、3D 空間で正三角形の法線を見つける必要があります。三角形の「譲歩」道路標識の写真を任意の角度から撮影し、その写真から標識の外向きの法線を決定することを考えてみてください。（正確にはそうしていませんが、似ています。したがって、ここからは記号/写真の比喩を使用します）。

** 更新 **: この同じ質問が、私のバージョンを尋ねる前日に出てきました。ここで見ることができます。私を指摘してくれたBlueRajaに感謝します。そこでの議論が答えになると思います。ただし、以下に示す計算アプローチも非常に興味深いものです。

コードで三角形を作成するときに三角形の法線を見つける方法は知っていますが、3D で写真の三角形にポイントをマッピングする方法がわかりません。各辺の長さを知っているので、どの方向でもポイントをどれだけ離す必要があるかがわかります。三角形をオーバーレイして位置に合わせて回転させ、そこからポイントを取得できる対話型ツールを構築できますが、対話なしでこれを行う必要があります。それをしても、関連する数学を理解するのに役立ちません。

正しい回転行列を見つけるだけでなく、ポイントを決定する必要があるかどうかさえわかりません。

どこから始めればよいのかわかりません... コンセプトの検索結果が空になるか、目的の検索結果が得られない (例: それらは 3D ではなく 2D 変換です)

また、私が物事を過度に複雑にしている可能性もあり、スリープ状態でこれを行う単純な変換方程式があります。

考え？前もって感謝します！

Answer 1

ちょうど昨日答えたような気がします。

Answer 2

これは、(組み込みの 4 重アンビギュイティを除いて) 数学的または計算的に解決できます。これはSOなので、計算アプローチについて説明します。

概観すると、アプローチは投影された角度を見ることであり、真の角度を知っているので、方向を計算できます。具体的には、次の視覚化から始めます。三角形が xy 平面で平らで、z 軸に沿って法線であると想像してください。ここに、三角形のすべての角に接する球を配置し、すべてが原点を中心にしています。ここで、球のすべての点に対して法線を回転させ、投影された角度を書き留めます。ここでの重要な点は、考えられる投影角度ごとに、球上に等角パスを描画できることです (つまり、同じ投影角度を観察するすべての位置を示す法線のパスです。これはおそらく円です)。 、しかし、私は数学を解決しないと確信が持てません)。元の問題を解決するには、観測された角度のうちの 2 つを取得し、等角度パスを描画します。

計算上、法線を球上で 1 度単位で移動して等角パスを構築し、各位置の 3 つの角度を記録してから、このデータを角度で並べ替えて等角パスに再配置します。次に、観測された投影の 2 つの角度について、2 つの等角度パスが交差する場所を見つけます。パスには、特定のコーナーが観察者に近いか遠いかという組み込みのあいまいさに対応する 2 つの交差点があることに注意してください。反射以外では、等角パスは切断されないと思います）。