least-squares - 垂直線の最小二乗方程式

Question

次の2Dポイントが与えられます：

213106.8

214 189

214 293.4

213 324

223 414

それらを通る最小二乗垂直軸線の方程式を見つけたいと思います。私の計画は、線の方程式を取得して、後続の点の最小二乗線までの距離をテストできるようにすることです。

ありがとう

Answer 1

厳密に言えば、垂直線に対して最小二乗近似は定義されていません（各ポイントの誤差はY軸に平行に測定されるため）。

ただし、XとYを入れ替えると、最小二乗法が最も適合する水平線を見つけることができます。これは、Y座標値の平均に単純になります。

水平線の方程式は単純にy=bです。

各点（x _i、y _i）での誤差は（y _i --b）です。

エラーの2乗の合計は、SSE = sum（（y _i --b）²）です。SSEを最小化するbの値を見つけたいと思います。bに関するSSEの偏導関数を取り、それをゼロに設定します。

sum（-2（y _i --b））= 0

簡略化、

sum（y _i）-Nb = 0

と

b = sum（y _i）/ N

したがって、あなたの場合、X座標を平均すると、ポイントに最適な垂直線のX座標が得られます。

Answer 2

最も一般的な解決策は、最小二乗法を適用することです。

これにより、（a、b、d）が垂直距離の2乗の合計を最小化することがわかります（ax + by = d（a ^ 2 + b ^ 2 = 1）：| ax + by – d |）。これは、0x + 1y=0などの垂直線を処理できます。

ただし、これは実装が少し難しいため、@JimLewisが提供するソリューションは問題なく実用的である可能性があります。

Answer 3

最適な線を垂直にしたい場合（つまり、x =定数）、y値は関係ありません。x値の2乗の平均の平方根をとるだけです。