matlab - Matlab のオイラー法

Question

私はオイラー法を使用して微分方程式 df/dt= af(t)−b[f(t)]^2 を近似する問題に取り組んでいます。b=0 の場合と b がゼロでない場合の両方です。そして、b=0 のときの近似解と解析解を比較します。

f(1) = 1000;
t(1)= 0;
a = 10;
b = 0 ;
dt = 0.01;
Nsteps = 10/dt;

for i = 2:Nsteps
    t(i) = dt + t(i-1);
    %f(i) = f(i-1)*(1 + dt*(a - b*f(i-1)));
    f(i) = f(i-1)*(1 + a*dt); 
end

plot(t,f,'r-')

hold on

fa= a*exp(a*t)

plot(t,fa,'bo')

b=0 のとき、微分方程式の解は f(t)=c*exp(at) です。f(0) = 1000 という初期条件を適用すると、微分方程式は f(t)=1000*exp(at) になります。さて、私の教授は、微分方程式には解析解があると言いました。どの時間ステップを使用しても、解析解のグラフと近似 (オイラー法) は一致します。したがって、2 つのグラフが重なることが予想されました。私が得たものの写真を添付し​​ました。

なぜこれが起こったのですか？グラフを重ねるために、1000 を 10 に変更しました。これは a=10 です。こうすると、2つが重なりました。理解できない。私は間違って何をしていますか?