python - 2 つのベータ版ディストリビューションの製品

Question

2 つの確率変数があるとします。

X ~ ベータ(α1,β1)

Y ~ ベータ(α2,β2)

Z = XY (確率変数の積) の分布を計算したい

を使用scipyすると、次の方法で単一のベータ版の pdf を取得できます。

from scipy.stats import beta
rv = beta(a, b)
x = np.linspace(start=0, stop=1, num=200)
my_pdf = rv.pdf(x)

しかし、2 つのベータ版の製品についてはどうでしょうか。これを分析的に行うことはできますか？(Python/Julia/R ソリューションは問題ありません)。

Answer 1

FWIW、Pythonでも同じ

from scipy import stats
import statsmodels.api as sm
import matplotlib.pyplot as plt

N = 100000

y = stats.beta(.5, .9).rvs(N)
x = stats.beta(.9, .5).rvs(N)
z = x*y
dens_z = sm.nonparametric.KDEUnivariate(z)
dens_z.fit()

dens_x = sm.nonparametric.KDEUnivariate(x)
dens_x.fit()

dens_y = sm.nonparametric.KDEUnivariate(y)
dens_y.fit()

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(dens_z.support, dens_z.density, label='z')
ax.plot(dens_x.support, dens_x.density, label='x')
ax.plot(dens_y.support, dens_y.density, label='y')
ax.legend()
plt.draw_if_interactive()

Answer 2

分析ソリューションについては、この論文とこの回答をご覧ください。

における数値的アプローチR

set.seed(1) # for reproducability

n <- 100000 # number of random variables

# first beta distribution
a1 <- 0.5
b1 <- 0.9
X <- rbeta(n, a1, b1)

# second beta distribution
a2 <- 0.9
b2 <- 0.5
Y <- rbeta(n, a2, b2)

# calculate product
Z <- X * Y

# Have a look at the distributions
plot(density(Z), col = "red", main = "Distributions")
lines(density(X), lty = 2)
lines(density(Y), lty = 2)