logic - 強い誘導？

Question

問題は、「強い帰納法を使って、2 つ以上の偶数の和が偶数であることを示す」です。さて、普通の誘導でいいのですが、強い誘導の表記に迷ってしまいました。これまでのところ、私は持っています：

BASE: (偶数として 2 を使用します)

シーケンス定義による n=2、A2 = 4 (偶数)

シーケンス定義による n=3、A3 = 6 (偶数)

したがって、P(2) と P(3) が得られます。

ここからどこへ行くべきかわかりません。誰かが私を正しい方向に導くことができれば、それは素晴らしいことです

Answer 1

誘導は、数字自体ではなく、数字の数に基づいている必要があります。これがあなたが探している証拠です、それが価値があるものです：

証明は、足し合わせる偶数の数の帰納法によるものです。

基本ケース:aとbを任意の 2 つの偶数とします。aandは偶数であるため、いくつかの整数and (必ずしも偶数ではない)に対してandbを書くことができます。次に、 があります。であるため、は整数であるため、 は定義上偶数です。a = 2cb = 2dcda + b = 2c + 2d = 2(c + d)a + b = 2ee = c + da + b

帰納仮説: 偶数までの任意のコレクションの合計が偶数であると仮定しk >= 2ます。

誘導ステップ: 偶数の集合の合計k + 1 も偶数であることを示さなければなりません。偶数{n_1, n_2, ..., n_k, m}の任意のコレクションとk + 1します。n_1 + n_2 + ... + n_k + mが偶数であることを示さなければなりません。加算の結合性と可換性により(n_1 + n_2 + ... + n_k) + m、式の値を変更せずにこれを安全に書くことができます。p = n_1 + n_2 + ... + n_k帰納法の仮説から、それは偶数までのコレクションの合計であるため、偶数でなければならないことがわかりkます。p = 2x、m = 2y、およびn_1 + n_2 + ... + n_k + m = p + m = 2x + 2y = 2(x + y) = 2zforがあるので、が偶数でなければならないことがz = x + yわかります。n_1 + n_2 + ... + n_k + m

これで帰納法による証明が終わります。