c# - 3D 平面ポリゴンの重心を計算する

Question

これは、こちらの質問と同様の質問です。

サーフェスを定義する 3D 座標のリスト ( Point3D1、Point3D2、など) が与えられた場合、サーフェスの重心Point3D3を計算する方法は?

2D では、計算は次の式で与えられます。

3Dアナログはどうですか？

Answer 1

ポイントを反時計回りにv ₀、v ₁、...、v _{Nとする。ここで、v i} = (x _i , y _i , z _i )。

次に、トリプレット (v ₀ , v ₁ , v ₂ ), (v ₀ , v ₂ , v ₃ ), ..., (v ₀ , v _i , v _i+1 ), ..., (v ₀ , v _N-1 , v _N ) は、多角形を作成する N-1 個の三角形を形成します。

各三角形の面積は| (v _i − v ₀ ) × (v _i+1 − v ₀ ) | ÷ 2、ここで、× は外積、| · | はベクトルの長さです。

凹んだ部分を補正するために、面積を負にする必要がある場合があります。簡単なチェックは、(v _i − v ₀ ) × (v _i+1 − v ₀ ) · (v ₁ − v ₀ ) × (v ₂ − v ₀ )を計算することです。領域は、結果と同じ符号を持つ必要があります。

2D 図形の面積比は平行投影では一定であるため、平面に平行ではない単位ベクトル (たとえば z) を選択すると、(v _i − v ₀ ) × (v _i+1 − v ₀ )を処理できます。 ·面積としてのz 。これにより、高価な平方根を実行する必要がなくなり、符号チェックが自動的に処理されます。

各三角形の重心は(v ₀ + v _i + v _i+1 ) ÷ 3です。

したがって、ポリゴン全体の重心は、密度が一様であると仮定すると、

                1       N-1
centroid = ——————————    ∑  ( centroid-of-triangle-i × area-of-triangle-i )
           total-area   i=1

_{(寸法 ≥ 4D の場合、面積は A i} = ½ |v _i −v ₀ | |v _i+1 −v ₀ | sin θ _iで計算する必要があります。ここで、cos θ _i = (v _i −v ₀ ) · (v _i+1 −v ₀ ). )

Answer 2

平面の場合は、平面にローカルな座標系に変換し、提示した式を使用して図心を計算してから、元に戻して3D空間の座標を取得できます。