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Haskell のラムダ計算は次のように解釈できます。

data Expr = Var String | Lam String Expr | App Expr Expr

data Value a = V a | F (Value a -> Value a)

interpret :: [(String, Value a)] -> Expr -> Value a
interpret env (Var x) = case lookup x env of
  Nothing -> error "undefined variable"
  Just v -> v
interpret env (Lam x e) = F (\v -> interpret ((x, v):env) e)
interpret env (App e1 e2) = case interpret env e1 of
  V _ -> error "not a function"
  F f -> f (interpret env e2)

上記のインタープリターをラムダ ミュー計算に拡張するにはどうすればよいでしょうか? 私の推測では、この微積分の追加の構造を解釈するために継続を使用する必要があります。Bernardi&Moortgat 論文の (15) と (16) は、私が期待する種類の翻訳です。

Haskell はチューリング完全であるため可能ですが、どうすればよいでしょうか。

ヒント:ミュー バインダーの直感的な意味については、この研究論文の197 ページのコメントを参照してください。

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これは、@ user2407038 の表現を使用して、紙からのリダクション ルールのマインドレス音訳です (ご覧のとおり、私がマインドレスと言うとき、私は本当にマインドレスを意味します)。

{-# LANGUAGE DataKinds, KindSignatures, GADTs #-}
{-# LANGUAGE StandaloneDeriving #-}

import Control.Monad.Writer
import Control.Applicative
import Data.Monoid

data TermType = Named | Unnamed

type Var = String
type MuVar = String

data Expr (n :: TermType) where
  Var :: Var -> Expr Unnamed
  Lam :: Var -> Expr Unnamed -> Expr Unnamed
  App :: Expr Unnamed -> Expr Unnamed -> Expr Unnamed
  Freeze :: MuVar -> Expr Unnamed -> Expr Named
  Mu :: MuVar -> Expr Named -> Expr Unnamed
deriving instance Show (Expr n)

substU :: Var -> Expr Unnamed -> Expr n -> Expr n
substU x e = go
  where
    go :: Expr n -> Expr n
    go (Var y) = if y == x then e else Var y
    go (Lam y e) = Lam y $ if y == x then e else go e
    go (App f e) = App (go f) (go e)
    go (Freeze alpha e) = Freeze alpha (go e)
    go (Mu alpha u) = Mu alpha (go u)

renameN :: MuVar -> MuVar -> Expr n -> Expr n
renameN beta alpha = go
  where
    go :: Expr n -> Expr n
    go (Var x) = Var x
    go (Lam x e) = Lam x (go e)
    go (App f e) = App (go f) (go e)
    go (Freeze gamma e) = Freeze (if gamma == beta then alpha else gamma) (go e)
    go (Mu gamma u) = Mu gamma $ if gamma == beta then u else go u

appN :: MuVar -> Expr Unnamed -> Expr n -> Expr n
appN beta v = go
  where
    go :: Expr n -> Expr n
    go (Var x) = Var x
    go (Lam x e) = Lam x (go e)
    go (App f e) = App (go f) (go e)
    go (Freeze alpha w) = Freeze alpha $ if alpha == beta then App (go w) v else go w
    go (Mu alpha u) = Mu alpha $ if alpha /= beta then go u else u

reduceTo :: a -> Writer Any a
reduceTo x = tell (Any True) >> return x

reduce0 :: Expr n -> Writer Any (Expr n)
reduce0 (App (Lam x u) v) = reduceTo $ substU x v u
reduce0 (App (Mu beta u) v) = reduceTo $ Mu beta $ appN beta v u
reduce0 (Freeze alpha (Mu beta u)) = reduceTo $ renameN beta alpha u
reduce0 e = return e

reduce1 :: Expr n -> Writer Any (Expr n)
reduce1 (Var x) = return $ Var x
reduce1 (Lam x e) = reduce0 =<< (Lam x <$> reduce1 e)
reduce1 (App f e) = reduce0 =<< (App <$> reduce1 f <*> reduce1 e)
reduce1 (Freeze alpha e) = reduce0 =<< (Freeze alpha <$> reduce1 e)
reduce1 (Mu alpha u) = reduce0 =<< (Mu alpha <$> reduce1 u)

reduce :: Expr n -> Expr n
reduce e = case runWriter (reduce1 e) of
    (e', Any changed) -> if changed then reduce e' else e

論文の例では「機能」します。

example 0 = App (App t (Var "x")) (Var "y")
  where
    t = Lam "x" $ Lam "y" $ Mu "delta" $ Freeze "phi" $ App (Var "x") (Var "y")   
example n = App (example (n-1)) (Var ("z_" ++ show n))

example n期待される結果に減らすことができます：

*Main> reduce (example 10)
Mu "delta" (Freeze "phi" (App (Var "x") (Var "y")))

上記の "works" の周りに恐ろしい引用符を付けた理由は、私が λμ 計算について直感を持っていないため、それが何をすべきかわからないからです。

于 2015-02-27T07:24:29.910 に答える
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以下のようなものはいかがでしょうか。をトラバースする方法についてはよくわかりませんがValue a、少なくとも に評価されることがわかりexample nますMuV。

import Data.Maybe

type Var = String
type MuVar = String

data Expr = Var Var
          | Lam Var Expr
          | App Expr Expr
          | Mu MuVar MuVar Expr
          deriving Show

data Value a = ConV a
             | LamV (Value a -> Value a)
             | MuV (Value a -> Value a)

type Env a = [(Var, Value a)]
type MuEnv a = [(MuVar, Value a -> Value a)]

varScopeErr :: Var -> Value a
varScopeErr v = error $ unwords ["Out of scope λ variable:", show v]

appErr :: Value a
appErr = error "Trying to apply a non-lambda"

muVarScopeErr :: MuVar -> (Value a -> Value a)
muVarScopeErr alpha = id

app :: Value a -> Value a -> Value a
app (LamV f) x = f x
app (MuV f) x = MuV $ \y -> f x `app` y
app _ _ = appErr

eval :: Env a -> MuEnv a -> Expr -> Value a
eval env menv (Var v) = fromMaybe (varScopeErr v) $ lookup v env
eval env menv (Lam v e) = LamV $ \x -> eval ((v, x):env) menv e
eval env menv (Mu alpha beta e) = MuV $ \u ->
  let menv' = (alpha, (`app` u)):menv
      wrap = fromMaybe (muVarScopeErr beta) $ lookup beta menv'
  in wrap (eval env menv' e)
eval env menv (App f e) = eval env menv f `app` eval env menv e

example 0 = App (App t (Var "v")) (Var "w")
  where
    t = Lam "x" $ Lam "y" $ Mu "delta" "phi" $ App (Var "x") (Var "y")
example n = App (example (n-1)) (Var ("z_" ++ show n))
于 2015-03-06T10:33:55.223 に答える