math - Coq で確立された再帰

Question

Coq で自然除算を計算する関数を作成しようとしていますが、構造的な再帰ではないため、定義に問題があります。

私のコードは次のとおりです。

Inductive N : Set :=
  | O : N
  | S : N -> N.

Inductive Bool : Set :=
  | True : Bool
  | False : Bool.

Fixpoint sum (m :N) (n : N) : N :=
match m with
  | O => n
  | S x => S ( sum x n)
end.

Notation "m + n" := (sum m n) (at level 50, left associativity).

Fixpoint mult (m :N) (n : N) : N :=
match m with
  | O => O
  | S x => n + (mult x n)
end.

Notation "m * n" := (mult m n) (at level 40, left associativity).

Fixpoint pred (m : N) : N :=
match m with
  | O => S O
  | S x => x
end.

Fixpoint resta (m:N) (n:N) : N :=
match n with
  | O => m
  | S x => pred (resta m x)
end.
Notation "m - x" := (resta m x) (at level 50, left associativity).

Fixpoint leq_nat (m : N) (n : N) : Bool :=
match m with
  | O => True
  | S x => match n with 
    | O => False
    | S y => leq_nat x y
  end
end.

Notation "m <= n" := (leq_nat m n) (at level 70).

Fixpoint div (m : N) (n : N) : N :=
match n with
  | O => O
  | S x => match m <= n with
    | False => O
    | True => pred (div (m-n) n)
  end
end.

ご覧のとおり、Coq は私の関数 div が好きではありません。

エラー: の減少引数を推測できませんfix。

Coq でこの関数の終了証明を提供するにはどうすればよいですか? n>O ^ n<=m -> (mn) < m の場合、証明できます。