math - ラッセルのパラドックス

Question

X を自分自身を含まないすべてのセットのセットとします。X は X のメンバーですか?

Answer 1

ZFCでは、[前述のように]基礎の公理または理解の公理（スキーム）のいずれかがこれを禁止します。1つ目は、明らかな理由によるものです。2つ目は、基本的に、与えられたzと1次のプロパティPに対して、{ x∈z：P（x ） }を構築できることを示しているためですが、ラッセルセットを生成するには、z = V（すべてのクラスセット）、これはセットではありません（つまり、指定された公理のいずれからも生成できません）。

新基礎集合論（NF）では、「x∉x 」は層化された式ではないため、ラッセル集合を定義することはできません。ややおもしろいことに、V はNFのセットです。

フォンノイマン-ベルネイ-ゲーデル集合論（NBG ）では、クラスR = { x：xは集合であり、x∉x }は定義可能です。次に、R∈Rかどうかを尋ねます。もしそうなら、R∉Rも矛盾を与えます。したがって、 R∉Rが必要です。ただし、ここでは矛盾はありません。任意のクラスAについて、A∉RはA∈AまたはAが適切なクラスであることを意味するためです。R∉Rなので_ _、 Rが適切なクラスであることを単純に把握する必要があります。

もちろん、クラスR = { x：x∉x }は、制限なしで、NBGで定義することはできません。

また、上記の手順はNBGの証明として正式に構築可能であるのに対し、ZFCではメタ推論に頼らなければならないことにも注意してください。

Answer 2

私が今まで見た中で最もエレガントな証明は、ラッセルのパラドックスによく似ています。

定理(カントールだと思います)。X を集合とし、2^X をそのサブセットの集合とします。次に、カード (X) < カード (2^X) です。

証明。確かに card(X) <= card(2^X) です。X と 2^X のシングルトンの間に自明な全単射があるためです。card(X) != card(2^X) であることを証明しなければなりません。

X と 2^X の間に全単射があるとします。次に、X の各 xk が 2^X のセット Ak にマップされます。

• x1 ---> A1
• x2 ---> A2
• ...
• xk ---> Ak
• ...

各 xk の可能性は次のとおりです。xk が Ak に属しているか、属していないかのいずれかです。Mを、対応する集合 Ak に属さないすべての xk の集合とします。M は X の部分集合であるため、全単射によって M に写像される X の要素 m が存在する必要があります。

m は M に属しますか? もしそうなら、そうではありません.Mは、それらがマッピングされているセットに属していないxのセットだからです。そうでない場合、M にはそのような xがすべて含まれているため、そうです。この矛盾は、全単射が存在するという仮定から生じます。したがって、全単射は存在できず、2 つの基数は異なり、定理は証明されます。

Answer 3

標準のZFC (Zermelo-Fraenkel + 選択の公理) 集合論では、このように定義されたオブジェクトは集合ではないため、この問題は適切ではありません。

(再び、標準の ZFC を想定して)クラス{x : x\not\in x} はセットではないため、答えはノーになります。セットのみがクラスの要素になることができるため、それ自体は (クラスとしても) 要素ではありません。またはセット。

ところで、基礎の公理に同意するとすぐに、集合はそれ自体の要素にはなりません。

もちろん、数学の良いところは、好きな公理を選択できることです:) しかし、パラドックスを信じるのは奇妙です.