2

I have the following matrix

M = 
       1  -3   3
       3  -5   3
       6  -6   4

WolframAlpha command eigenvalues {{1,-3, 3}, {3, -5, 3}, {6, -6, 4}} produces the following eigenvalues:

lambda_1 = 4
lambda_2 = -2
lambda_3 = -2

And the following eigenvectors:

v_1 = (1, 1, 2)
v_2 = (-1, 0, 1)
v_3 = (1, 1, 0)

However, Octave command [V,D]= eig(M) gives me the following eigenvalues and eigenvectors:

    V =
      -0.40825 + 0.00000i   0.24400 - 0.40702i   0.24400 + 0.40702i
      -0.40825 + 0.00000i  -0.41622 - 0.40702i  -0.41622 + 0.40702i
      -0.81650 + 0.00000i  -0.66022 + 0.00000i  -0.66022 - 0.00000i

    D =
    Diagonal Matrix
       4.0000 + 0.0000i                  0                  0
                      0  -2.0000 + 0.0000i                  0
                      0                  0  -2.0000 - 0.0000i

And, Jama gives me the following for eigenvalues:

    4   0   0
    0  -2   0
    0   0  -2

And the following eigenvectors:

      -0.408248  -0.856787  -0.072040
      -0.408248  -0.650770  -1.484180
      -0.816497   0.206017  -1.412140

The Octave and Jama results appear to be different from each other and from the Wolfram results -- Octave even producing complex eigenvectors, while eigenvalues agree in all three methods.

Any explanation on the discrepancies, and as to how to interpret the Octave and Jame results to match with Wolfram result?

Please note that the hand calculation given at http://algebra.math.ust.hk/eigen/01_definition/lecture2.shtml agrees with the Wolfram result.

Thank a lot for your help.

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3つの答えはすべて正しいです。

に対応する固有ベクトルは、の任意の倍数にする4ことができます。つまり、最初の 2 つの値が同じで、3 番目の数値が 2 倍である限り、それは固有ベクトルです。(1, 1, 2)

両方

(-0.40825 + 0.00000i, -0.40825 + 0.00000i, -0.81650 + 0.00000i)

と

(-0.408248, -0.408248, -0.816497)

はこの形です。

固有値-2が繰り返されます。したがって、固有値に対応する固有空間-2は 2 次元です。これは、答えが同等であることを確認するのがはるかに難しいことを意味します。

(1, 1, 0)2 つの固有ベクトルによって生成される 2D 空間を記述する最も簡単な方法は、次を満たす(1, 0, -1)すべてのベクトルのセットです。(a, b, c)

a - b + c = 0

-2で見つかった 6 つの固有ベクトルすべてがこの形式であることを確認するのは簡単です。

実在する解が存在するのに、Octave が答えを複素数として与えたのは少し哀れですが、実際には間違っていません。

于 2016-04-11T01:36:47.007 に答える