geometry - 円の関数を定義して、線分の端をキャップします

Question

円上の点を3次元で返す関数が必要です。

円は、点AとB、およびその半径によって定義される線分を「キャップ」する必要があります。各キャップは線分に垂直です。エンドポイントの1つを中心とします。

これはくだらない図です

Answer 1

NをAからBの方向の単位ベクトル、つまりN =（BA）/ length（AB）とします。最初のステップは、{N、X、Y}が基底を形成するように、さらに2つのベクトルXとYを見つけることです。つまり、{N、X、Y}のすべてのペアが互いに垂直になるように、またそれらがすべて単位ベクトルになるように、さらに2つのベクトルが必要です。これについて考える別の方法は、x軸が線分と一致する新しい座標系を作成することです。y軸とz軸の方向を指すベクトルを見つける必要があります。

XとYには無限に多くの選択肢があることに注意してください。どういうわけか、機能する2つを見つける必要があります。

これを行う1つの方法は、最初にベクトル{N、W、V}を見つけることです。ここで、Nは上からのものであり、WとVは（1,0,0）、（0,1,0）、および（0,0）の2つです。 、1）。Nの最小座標に対応するWとVの2つのベクトルを選択します。したがって、N =（.31、.95、0）の場合、Wには（1,0,0）と（0,0,1）を選択します。およびV.（数学オタク注：WとVを選択するこの方法により、{N、W、V}がR ^ 3にまたがることが保証されます）。次に、グラムシュミットプロセスを{N、W、V}に適用して、上記のようにベクトル{N、X、Y}を取得します。プロセスによって変更されないように、ベクトルNを最初のベクトルにする必要があることに注意してください。

これで、線分に垂直で互いに垂直な2つのベクトルができました。これは、Aの周りの円上の点がX * cos t + Y * sin t + Aであることを意味します。ここで、0 <= t <2*piです。これは、2次元の円の通常の説明とまったく同じです。上記の新しい座標系で記述されているだけです。

Answer 2

David Normanが指摘したように、核心はNに直交する2つの直交する単位ベクトルX、Yを見つけることです。しかし、これらを計算するより簡単な方法は、Nを（1,0、 0）次に、XとしてQの下の（0,1,0）の画像を取り、YをQの下の（0,0,1）の画像として取ります。これは複雑に聞こえるかもしれませんが、次のようになります。

s =（N [0]> 0.0）？1.0：-1.0

t = N [0] + s; f = -1.0 /（s * t）;

X [0] = f * N [1] * t; X [1] = 1 + f * N [1] * N [1]; X [2] = f * N [1] * N [2];

Y [0] = f * N [2] * t; Y [1] = f * N [1] * N [2]; Y [2] = 1 + f * N [2] * N [2];