floating-point - 倍精度IEEE754で数値を表現できる(できない)のはなぜですか?

Question

IEEE754の倍精度^について混乱しています^。
次の2^つの質問を検討 します。

2. 2 ⁵⁴ +2 が表現できないのは なぜですか?

手伝って頂けますか ？IEEE754の動作方法は理解 していますが、表示に問題があります。

Answer 1

IEEE 754 double の仮数 (または仮数) には 53 ビットがあります。−2 ⁵⁴は次のように正確に表すことができます。

mantissa: 1.00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00 (bin)
exponent: 54
sign:     1

ここで、符号ビットを少し忘れてみましょう。この説明には関係ありません。+2 ⁵⁴があるとします。

この指数では、仮数の最下位 -- 右端 --の値は 2 ^-52 * 2 ⁵⁴ = 4 になります。したがって、2 ⁵⁴ + 4 は次のようにエンコードされます。

mantissa: 1.00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 01 (bin)
exponent: 54                                                             ^
                                                                lowest bit

しかし、その間に価値はありません。^{したがって、 2 54} + 2をエンコードすることはできません。

−2 ⁵⁴ + 2ではなぜこれが問題にならないのでしょうか? これは−(2 ⁵⁴ − 2)と同じで、次のように表されるためです。

mantissa: 1.11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11
exponent: 53 !!
sign:     1

指数 53 は、2 ^-52 * 2 ⁵³ = 2 のステップがあることを意味します。0 に向かう次の値は次のようになります。

mantissa: 1.11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 10
exponent: 53
sign:     1

これは −2 ⁵⁴ + 4、または実際には −(2 ⁵⁴ − 4) です。^{そして、-2 53}に到達するまで、このように続けることができます。