generator - 7 を法とする乗算での [1, 2, 3, 4, 5, 6] の巡回群生成器

Question

7 を法とする乗算で巡回群 [1, 2, 3, 4, 5, 6] 内のすべての生成元を見つけます。<1>と<5>を発電機として手に入れました。答えは＜３＞と＜５＞です。なぜ 3 が発電機なのか誰か教えてください。

Answer 1

[1, 2, 3, 4, 5, 6] の巡回部分群を計算するには、各要素の累乗を計算します。

• 1 = {1^1 mod 7 = 1, 1^2 mod 7 = 1, ...}
• 2 = {2^1 mod 7 = 2, 2^2 mod 7 = 4, ...}
• 3 = {3, 2, 6, 4, 5, 1}
• 4 = {4, 2, 1}
• 5 = {5, 4, 6, 2, 3, 1}
• 6 = {6,1}

このことから、3 と 5 が周期的であることがわかります。