現在、Shader Model 4（DirectX 10 HLSL）を使用して3Dパーリンノイズバンプマッピングを実装しています。ノイズ自体の生成は大きな問題ではありませんが（チュートリアルやコードがたくさんあります）、私が見つけていないのは3Dパーリンノイズの分析的派生物です。
派生物を考慮に入れている唯一のサイトは、IńigoQuilezのサイトと関連するGameDev.netディスカッションです。問題は、最初のリンクではノイズが値ベースであり、勾配ベースではないことです（これは私にとっての要件です）。2番目のリンクでは、2D勾配ノイズの導関数しかありません。
数値微分を探しているわけではないことに注意してください。数値微分では、4つの隣接するノイズサンプルを生成する必要があり、オーバーヘッドが大きすぎます。
誰かがこれらの導関数を計算しましたか？それらを使用しているリファレンス実装はありますか？
今日もウェブ上で解決策を見つけることができなかったので、それを導出しようとしました。
最初に、3D パーリン ノイズの表記が定義されます。
3D パーリン ノイズが次のようにトリリニア補間によって計算されると仮定します。
n = Lerp(
Lerp(
Lerp(dot000, dot100, u),
Lerp(dot010, dot110, u),
v),
Lerp(
Lerp(dot001, dot101, u),
Lerp(dot011, dot111, u),
v),
w)
ここでu、v、wは、分数座標の 5 次多項式による補間係数です (つまり、改善されたパーリン ノイズ)。
x0 = frac(x)
y0 = frac(y)
z0 = frac(z)
x1 = x0 - 1
y1 = y0 - 1
z1 = z0 - 1
u = x0 * x0 * x0 * (x0 * (6 * x0 - 15) + 10)
v = y0 * y0 * y0 * (y0 * (6 * y0 - 15) + 10)
w = z0 * z0 * z0 * (z0 * (6 * z0 - 15) + 10)
およびs は、格子点での勾配ベクトル s と分数座標のdot___内積です。(gx___, gy___, gz___)
dot000 = gx000 * x0 + gy000 * y0 + gz000 * z0
dot100 = gx100 * x1 + gy100 * y0 + gz100 * z0
dot010 = gx010 * x0 + gy010 * y1 + gz010 * z0
dot110 = gx110 * x1 + gy110 * y1 + gz110 * z0
dot001 = gx001 * x0 + gy001 * y0 + gz001 * z1
dot101 = gx101 * x1 + gy101 * y0 + gz101 * z1
dot011 = gx011 * x0 + gy011 * y1 + gz011 * z1
dot111 = gx111 * x1 + gy111 * y1 + gz111 * z1
まず、u、vおよびの導関数を計算します。w
u' = 30 * x0 * x0 * (x0 - 1) * (x0 - 1)
v' = 30 * y0 * y0 * (y0 - 1) * (y0 - 1)
w' = 30 * z0 * z0 * (z0 - 1) * (z0 - 1)
で展開nすることでLerp(a, b, t) = a + (b - a) * t、
n = dot000
+ u(dot100 - dot000)
+ v(dot010 - dot000)
+ w(dot001 - dot000)
+ uv(dot110 - dot010 - dot100 + dot000)
+ uw(dot101 - dot001 - dot100 + dot000)
+ vw(dot011 - dot001 - dot010 + dot000)
+ uvw(dot111 - dot011 - dot101 + dot001 - dot110 + dot010 + dot100 - dot000)
次に、 の偏微分を取りますn。
nx = gx000
+ u' (dot100 - dot000)
+ u (gx100 - gx000)
+ v (gx010 - gx000)
+ w (gx001 - gx000)
+ u'v (dot110 - dot010 - dot100 + dot000)
+ uv (gx110 - gx010 - gx100 + gx000)
+ u'w (dot101 - dot001 - dot100 + dot000)
+ uw (gx101 - gx001 - gx100 - gx000)
+ vw (gx011 - gx001 - gx010 + gx000)
+ u'vw(dot111 - dot011 - dot101 + dot001 - dot110 + dot010 + dot100 - dot000)
+ uvw (gx111 - gx011 - gx101 + gx001 - gx110 + gx010 + gx100 - gx000)
、
ny = gy000
+ u (gy100 - gy000)
+ v' (dot010 - dot000)
+ v (gy010 - gy000)
+ w (gy001 - gy000)
+ uv' (dot110 - dot010 - dot100 + dot000)
+ uv (gy110 - gy010 - gy100 + gy000)
+ uw (gy101 - gy001 - gy100 + gy000)
+ v'w (dot011 - dot001 - dot010 + dot000)
+ vw (gy011 - gy001 - gy010 + gy000)
+ uv'w(dot111 - dot011 - dot101 + dot001 - dot110 + dot010 + dot100 - dot000)
+ uvw (gy111 - gy011 - gy101 + gy001 - gy110 + gy010 + gy100 - gy000)
、
nz = gz000
+ u (gz100 - gz000)
+ v (gz010 - gz000)
+ w' (dot001 - dot000)
+ w (gz001 - gz000)
+ uv (gz110 - gz010 - gz100 + gz000)
+ uw' (dot101 - dot001 - dot100 + dot000)
+ uw (gz101 - gz001 - gz100 + gz000)
+ vw' (dot011 - dot001 - dot010 + dot000)
+ vw (gz011 - gz001 - gz010 + gz000)
+ uvw'(dot111 - dot011 - dot101 + dot001 - dot110 + dot010 + dot100 - dot000)
+ uvw (gz111 - gz011 - gz101 + gz001 - gz110 + gz010 + gz100 - gz000)
次に(nx, ny, nz)、ノイズ関数の勾配ベクトル (偏導関数) です。
コンパイラがそれを処理できない場合、いくつかの一般的な部分式を因数分解できます。例えば：
uv = u * v
vw = v * w
uw = u * w
uvw = uv * w
展開された係数はn複数回再利用されます。それらは次のように計算できます。
k0 = dot100 - dot000
k1 = dot010 - dot000
k2 = dot001 - dot000
k3 = dot110 - dot010 - k0
k4 = dot101 - dot001 - k0
k5 = dot011 - dot001 - k1
k6 = (dot111 - dot011) - (dot101 - dot001) - k3
また、導関数は同様の係数を持ち、
gxk0 = gx100 - gx000
gxk1 = gx010 - gx000
...
canの計算では、 , ...を含むn拡張形式も使用されます。k0k6
このソリューションは、中心差分法に対して検証されています。
このソリューションは不器用に見えますが、私の実験 (CPU のみ、SSE) では、このソリューションでこれらの導関数を計算すると、1 つの 3D パーリン ノイズ サンプルを計算するのに約50% の余分な時間がかかるだけであることが示されました。
有限差分では、少なくとも 300% の余分な時間が必要になります (余分な 3 つのサンプルを実行する) または 600% (中央の差分のために 6 つのサンプルを実行する)。
したがって、このソリューションはパフォーマンスが優れており、数値的にも安定しているはずです。