超幾何関数を評価するためのアルゴリズムの経験がある人はいますか？私は一般的な参考文献に興味がありますが、誰かがそれを扱った場合に備えて、私の特定の問題について説明します。
私の特定の問題は、3F2（a、b、1; c、d; 1）の形式の関数を評価することです。ここで、a、b、c、およびdはすべて正の実数であり、c + d> a + b+1です。閉じた形の式を持つ特殊なケースはたくさんありますが、私が知る限り、一般的にそのような式はありません。ゼロを中心とするべき級数は1に収束しますが、非常にゆっくりです。連続する係数の比率は、制限内で1になります。たぶん、エイトケンの加速のようなものが役立つでしょうか？
Aitken アクセラレーションをテストしましたが、この問題の解決には役立たないようです (Richardson の外挿も同様です)。これはおそらく、パデ近似も機能しないことを意味します。私が何か間違ったことをしたかもしれないので、ぜひ自分で試してみてください。
2つのアプローチが考えられます。
1 つは、収束が急速な z = 0.5 などの点で級数を評価して初期値を取得し、次に超幾何微分方程式を ODE ソルバーに差し込んで z = 1 に進むことです。これが実際にどれだけうまく機能するかはわかりません。z = 1 が特異点であるため、そうではない可能性があります (正しく思い出せば)。
2 つ目は、 Meijer G 関数に関して 3F2 の定義を使用することです。マイヤー G 関数を定義する輪郭積分は、輪郭のセグメントにガウスまたは二重指数求積法を適用することによって数値的に評価できます。これは非常に効率的ではありませんが、機能するはずであり、比較的高い精度にスケーリングする必要があります。
連続する項の比率が分かっていて、それが有理関数である系列を合計したいというのは正しいですか?
Gosper のアルゴリズムと、超幾何学的同一性を証明する (そしてそれらを見つける) ためのその他のツールは、まさにこれを行うと思いますよね? (Wilf と Zielberger のA=B 本をオンラインで参照してください。 )