わかりました、行列/ベクトル計算の簡単なコース:
行列は、次のような長方形のグリッドに並べられた数値のコレクションです。
[ 0, 1, 2 ]
[ 2, 3, 5 ]
[ 2, 1, 3 ]
[ 0, 0, 1 ]
上記の行列には 4 行 3 列があり、4 x 3 の行列です。ベクトルは、1 行 (行ベクトル) または 1 列 (列ベクトル) の行列です。正規数は、行列と対比するためにスカラーと呼ばれます。
行列に大文字を使用し、スカラーに小文字を使用することも一般的です。
行列を使った基本的な計算はできますが、いくつか条件があります。
添加
次元が同じであれば、行列を追加できます。したがって、2x2 マトリックスは 2x2 マトリックスに追加できますが、3x5 マトリックスには追加できません。
[ 1, 2 ] + [ 2, 5 ] = [ 3, 7 ]
[ 2, 4 ] [ 0, 3 ] [ 2, 7 ]
加算により、各セルの各数値が他のマトリックスの同じ位置の数値に加算されることがわかります。
行列乗算
行列は乗算できますが、これはもう少し複雑です。行列 A と行列 B を乗算するには、行列 A と行列 B の各列の各行の数値を乗算する必要があります。つまり、axb 行列と acxd 行列を乗算する場合、b と c は等しくなければならず、結果の行列は次のとおりです。
[1,2,3] x [4,6] = [1x4+2x2+3x2, 1x6+2x1+3x3 ] = [4+4+6, 6+2+9 ] = [14, 20]
[1,4,5] [2,1] [1x4+4x2+5x2, 1x6+4x1+5x3 ] [4+8+10, 6+4+15 ] [22, 25]
[2,3]
ご覧のとおり、マトリックスでは、A x B は B x A とは異なります。
行列スカラー乗算
行列にスカラーを掛けることができます。その場合、各セルにその数値が乗算されます。
3 x [1,2] = [ 3, 6]
[4,7] [12,21]
行列の反転
行列除算はできませんが、A x A-inv がその主対角を除いてすべてゼロの行列になるような行列の反転を作成できます。
[ 1, 0, 0 ]
[ 0, 1, 0 ]
[ 0, 0, 1 ]
行列の反転は正方行列でのみ行うことができ、結果を必要としない複雑な作業です。
行列 A から始めます。
[ 1, 2, 3 ]
A = [ 1, 3, 4 ]
[ 2, 5, 1 ]
3 つの列を追加し、それらに単位行列を入力します。
[ 1, 2, 3, 1, 0, 0 ]
[ 1, 3, 4, 0, 1, 0 ]
[ 2, 5, 1, 0, 0, 1 ]
それでは、最初の列から始めましょう。最初の行を除いて最初の列にゼロのみが含まれるように、最初の行を他の行から減算する必要があります。これを行うには、最初の行を 2 番目の行から 1 回、3 番目の行から 2 回引きます。
[ 1, 2, 3, 1, 0, 0 ]
[ 0, 1, 1,-1, 1, 0 ]
[ 0, 1,-5,-2, 0, 1 ]
これを 2 番目の列で繰り返します (最初の行から 2 回、3 番目の行から 1 回)。
[ 1, 0, 1, 3,-2, 0 ]
[ 0, 1, 1,-1, 1, 0 ]
[ 0, 0,-6,-1,-1, 1 ]
3 番目の列については、少し問題があります。ピボット番号は 1 ではなく -6 です。しかし、行全体に -1/6 を掛けることでこれを解決できます。
[ 1, 0, 1, 3, -2, 0 ]
[ 0, 1, 1, -1, 1, 0 ]
[ 0, 0, 1, 1/6, 1/6, -1/6 ]
これで、1 行目と 2 行目から 3 行目を引くことができます。
[ 1, 0, 0, 17/6,-13/6, 1/6 ]
[ 0, 1, 0, -7/6, 5/6, 1/6 ]
[ 0, 0, 1, 1/6, 1/6, -1/6 ]
これで A の逆数が得られました。
[ 17/6,-13/6, 1/6 ]
[ -7/6, 5/6, 1/6 ]
[ 1/6, 1/6, -1/6 ]
これは次のように記述できます。
[ 17,-13, 1 ]
1/6 * [ -7, 5, 1 ]
[ 1, 1, -1 ]
[ 1, 2, 3 ] [ 17,-13, 1 ] [ 6, 0, 0 ] [ 1, 0, 0 ]
A = [ 1, 3, 4 ] x [ -7, 5, 1 ] x 1/6 = 1/6 x [ 0, 6, 0 ] = [ 0, 1, 0 ]
[ 2, 5, 1 ] [ 1, 1, -1 ] [ 0, 0, 6 ] [ 0, 0, 1 ]
これが少し役立つことを願っています。