math - 半順序-有限集合-最小要素

Question

帰納法によって証明します。空でない有限集合のすべての半順序は、少なくとも1つの最小要素を設定します。

どうすればその質問を 解決できますか？

Answer 1

ポセットに要素が1つしかない場合は、当然のことです。ここで、サイズ<nのすべてのセットに当てはまると仮定します。n番目の要素を、存在することがわかっている（n-1）半順序集合の最小要素と比較します。それは、新しいミニマルであるか、そうでないか、または比類のないものになります。どちらにしても構いません。（なぜ？）

Answer 2

半順序のサイズが1の場合、それは明らかです。

半順序に当てはまると仮定し、サイズが<n半順序になるようにします。(P,<)n

で選択xしPます。させてP(<x) = { y in P : y<x }

P(<x)が空の場合、xは最小要素です。

それ以外の場合 は、にないため、P(<x)は厳密に。よりも小さくなります。したがって、半順序集合 には最小限の要素が必要です。PxP(<x)(P(<x),<)y

これyは、の最小要素である必要があります。の場合、、のP場合z<y、したがってP、の最小要素であり、これは、の最小要素と矛盾します。z<xzP(<x)yyP(<x)