だから私は関数を持っています（私は疑似関数型言語でこれを書いています、私はそれが明確であることを願っています）：
dampen (lr : Num, x : Num) = x + lr*(1-x)
そして、これを値 x に n 回適用したいと思います。再帰的に実装できます：
dampenN (0, lr, x) = dampen(lr, x)
dampenN (n, lr, x) = dampenN(n-1, lr, dampen(x))
しかし、反復手順 (再帰またはループ) に頼らずに数学的にそれを行う方法が必要です。
残念ながら、私の代数のスキルは信じられないほど錆びています。誰か助けてくれませんか?
x + lr*(1-x)
= x + lr - lr*x
= x*(1-lr)+lr
それを2回適用すると
(x*(1-lr)+lr)*(1-lr)+lr
= x*(1-lr)^2 + lr*(1-lr) + lr
そして3回
(x*(1-lr)+lr)*(1-lr)^2 + lr*(1-lr) + lr
= x*(1-lr)^3 + lr*(1-lr)^2 + lr*(1-lr) + lr
または一般に、n回は
x*(1-lr)^n + lr * ( (1-lr)^n + (1-lr)^(n-1)...+(1-lr) +1)
それは役に立ちますか？
数式からシリーズを完全に削除できます。
私たちは与えられます：
x_(n+1) = x_n + lr(1-x_n)
これは、次のように書き直すと、より簡単にすることができます。
x_(n+1) = (1-lr)x_n + lr
事実上、これを末尾再帰に変換しました。（コンピューターサイエンスの観点が必要な場合。）
この意味は：
x_n = (1-lr)^n * x_0 + ((1-lr)^(n-1) + (1-lr)^(n-2) + ... + 1)*lr
右側の大きな項は幾何級数であるため、折りたたむこともできます。
x_n = (1-lr)^n * x_0 + lr * (1 - (1-lr)^n) / (1- (1 -lr))
x_n = (1-lr)^n * x_0 + 1 - (1 - lr)^n
最後の表現に小さな誤りがあったため、編集しました。来る嵐に+1。