固定境界値 (拡張 Fisher-Kolmogorov - EFK) を使用して 6 次の非線形偏微分方程式 (1D) を解こうとしています。FTCS で失敗した後、次の試みは LSODES などを使用した MoL (空間の中心または FEM) です。
これはどのように実装できますか？これまでのところ Python/C + OpenMP を使用していますが、これを効率的に行うにはいくつかの指針が必要です。
6 次項を追加した EFK:
u_t = d u_6x - g u_4x + u_xx + u-u^3
ここで、d、g は実数係数です。
u(x,0) = exp(-x^2/16)、境界で ux = 0
ドメインは [0,300] であり、dx << 1 パターン形成を探しているため (d、g の値に従う)
これが十分な情報であることを願っています。
このようなすべての PDE ソリューションは、最終的にはプログラム内で線形代数を使用して表現されることになるため、コーディングを開始する前に PDE をその形式にする方法を理解することが秘訣です。
有限要素法は通常、加重残差法から始まります。非線形方程式では、線形近似とニュートン ラフソン法などの反復法が必要になります。そこから始めることをお勧めします。
あなたのものは一時的な解決策であるため、時間ステップを実行する必要があります。明示的な方法を使用して、安定性の限界が要求する小さな時間ステップで動作するか、各ステップで逆行列を実行する必要がある陰的な方法を使用できます。
安定性の要件を把握するために、最初に線形部分のフーリエ解析を行います。
方程式を非線形にする唯一の項は、最後の項 -u^3 です。その項をオフにして、残っている線形方程式を解くことから始めてみましたか?
更新：コメントによって促されたいくつかの追加の考え：
u^3この用語がいかに重要かを理解しています。拡散は 2 次導関数 wrt 空間であるため、6 次方程式がそれに続くとは確信できません。PDE に関する私の経験は、6 次方程式を持たない物理学の分野に由来するため、解がどのように見えるかは正直わかりません。最初に線形問題を解いて感触を掴みます。
安定性と明示的な方法に関しては、タイム ステップ サイズに設定された安定性の制限により失敗する可能性が高いというのが定説ですが、その確率は 1.0 ではありません。map reduce とクラウド コンピューティングにより、明示的なソリューションが 10 ～ 20 年前よりも実行可能になる可能性があると思います。陽的ダイナミクスは、逆行列を必要としないため、困難な静的問題を解決するための主流の方法になりました。