set - セットのプロパティ: 非反射性と推移性

Question

これは宿題ではありませんが、私の宿題と直接関係があります。つまり、宿題をするためには、この情報を知る必要があります。

R推移的ですR = {(a,b),(b,a),(c,c)}: ? それも含める必要があると思います(a,a),(b,b)が、よくわかりません。

空集合は{}非反射的ですか?

これらは明確に説明されていないケースであり、明確化していただければ幸いです。

Answer 1

たとえば、ウィキペディア: 推移的な関係を見ると、関係が推移的である場合に真になるこの素敵な量化された式があります。

それは普遍的に量化されているため、空のセットに対して正しいです (空のセットに関する普遍的に量化された式は定義により真であるため)。そして、あなたは絶対に正しいです。R に(a,b)andがある場合、R が推移的であるためにもある必要があります。(b,a)(a,a)

非反射性も普遍的に定量化されているため（「それは、要素がそれ自体に関連していないセット上のバイナリ関係です。」=>∀x:~(xRx)または~∃x:xRx）、空のセットにも当てはまります。

Answer 2

数学と論理における推移律。A が B と何らかの関係を持ち、B が C と同じ関係を持つ場合、A は C と同じ関係を持つというステートメント。 = C の場合、A = C です。2 つの不等式が同じ意味を持つ場合、プロパティの不等式も同様です。つまり、A が B よりも大きく (つまり、A > B) かつ B > C の場合、A > C です。また、A が B よりも小さく (つまり、A < B) かつ B < C の場合、A < C です。自動詞関係の例は次のとおりです。B が A の娘であり、C が B の娘である場合、C Aの娘ではありません。非推移的な関係: A が B を愛し、B が C を愛している場合、A は C を愛しているかもしれませんし、そうでないかもしれません。
非反射的または反反射的な関係は、反射的な関係の反対です。これは、要素がそれ自体に関連付けられていない集合上の二項関係です。例として、「より大きい」関係 (x>y) があります。再帰的でないすべての関係が非反射的であるとは限らないことに注意してください。一部の要素がそれ自体に関連付けられているが、他の要素には関連付けられていないという関係を定義することができます。たとえば、「x と y の積が偶数である」という 2 項関係は、偶数の集合では再帰的であり、奇数の集合では非反射的であり、自然数の集合ではどちらでもありません。