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以下を数値的に統合したい：

式1

どこ

eq2

とaとは定数でb、β簡単にするためにすべて に設定できます1。

を使用する Matlabdblquadも、使用する Mathematica もNIntegrate、分母によって作成された特異点を処理できません。これは二重積分であるため、特異点がどこにあるかを Mathematica で指定することはできません。

この積分は摂動理論に基づいており、

ここに画像の説明を入力

以前に発見されました（私が見つけたものではないので、どのように行われたのかわかりません）。

何か案は？

4

4 に答える 4

9

(1) 使用する明示的なコードを提供していただけると助かります。そうすれば、他の人 (読む: 私) は個別にコーディングする必要がありません。

(2) 積分が存在する場合、それはゼロでなければなりません。これは、x と y を交換するときに n(y)-n(x) 係数を無効にするが、残りは同じにするためです。それでも、積分範囲の対称性は、変数の名前を変更するだけであることを意味するため、同じままにする必要があります。

(3) 以下は、少なくとも特異部分とその周囲の小さなバンドをゼロにするとゼロになることを示すコードです。

a = 1;
b = 1;
beta = 1;
eps[x_] := 2*(a-b*Cos[x])
n[x_] := 1/(1+Exp[beta*eps[x]])
delta = .001;
pw[x_,y_] := Piecewise[{{1,Abs[Abs[x]-Abs[y]]>delta}}, 0]

ゼロに近い結果での精度の問題を回避するためだけに、被積分関数に 1 を追加します。

NIntegrate[1+Cos[(x+y)/2]^2*(n[x]-n[y])/(eps[x]-eps[y])^2*pw[Cos[x],Cos[y]],
  {x,-Pi,Pi}, {y,-Pi,Pi}] / (4*Pi^2)

以下の結果が得られます。

NIntegrate::slwcon: 
   Numerical integration converging too slowly; suspect one of the following:
    singularity, value of the integration is 0, highly oscillatory integrand,
    or WorkingPrecision too small.

NIntegrate::eincr: 
   The global error of the strategy GlobalAdaptive has increased more than 
    2000 times. The global error is expected to decrease monotonically after a
     number of integrand evaluations. Suspect one of the following: the
     working precision is insufficient for the specified precision goal; the
     integrand is highly oscillatory or it is not a (piecewise) smooth
     function; or the true value of the integral is 0. Increasing the value of
     the GlobalAdaptive option MaxErrorIncreases might lead to a convergent
     numerical integration. NIntegrate obtained 39.4791 and 0.459541
     for the integral and error estimates.

Out[24]= 1.00002

これは、純粋な結果がゼロになることを示しています。

(4) cos(x) を cx に、cos(y) を cy に置き換え、収束評価のために無関係な要因を取り除くと、次の式が得られます。

((1 + E^(2*(1 - cx)))^(-1) - (1 + E^(2*(1 - cy)))^(-1))/
 (2*(1 - cx) - 2*(1 - cy))^2

cx を中心とする cy の級数展開は、次数 1 の極を示します。したがって、特異積分のように見えます。

ダニエル・リヒトブラウ

于 2011-08-16T18:16:40.177 に答える
1

ここで何かが足りないかもしれませんが、被積分関数f [x、y] = Cos ^ 2 [（x + y）/ 2] *（n [x] -n [y]）/（eps [x] -eps [y]）n [x] = 1 /（1 + Exp [Beta * eps [x]]）およびeps [x] = 2（ab * Cos [x]）は、実際にxとyの対称関数です。 f [x、-y] = f [-x、y] = f [x、y]。したがって、任意のドメイン[-u、u] x [-v、v]での積分はゼロです。ここでは数値積分は必要ないようです。結果はゼロです。

于 2011-08-17T15:30:30.707 に答える
1

対称範囲で奇数被積分関数を積分することに関するダニエルの観察に加えて (対称性は結果がゼロであることを示します)、収束をよりよく理解するためにこれを行うこともできます (私はラテックスを使用し、これをペンと紙で書きます)読みやすくする必要があります; 実行するよりも書く方がはるかに時間がかかりましたが、それほど複雑ではありません):

まず、epsilon(x)-\epsilon(y)\propto\cos(y)-\cos(x)=2\sin(\xi_+)\sin(\xi_-)定義した場所\xi_\pm=(x\pm y)/2(軸を pi/4 だけ回転させました)。積分領域は と\xi_+の間\pi/\sqrt{2}と-\pi/\sqrt{2}の\xi_-間\pm(\pi/\sqrt{2}-\xi_-)です。次に、被積分関数は、\frac{1}{\sin^2(\xi_-)\sin^2(\xi_+)}発散のないフォーム時間の項を取ります。したがって、明らかに、2 次の極があり、これは示されているように収束しません。

おそらく、cos 項で回答を得た人に電子メールを送信して、彼らが正確に何をしたかを尋ねることができます。おそらく、物理的な正規化手順が採用されています。または、これの物理的起源についてより多くの情報を提供できたはずです（ある種のボソン系のある種の二次摂動理論？）、それがここで話題から外れていなければ...

于 2011-08-16T20:44:01.810 に答える