differential-equations - 2 次 ODE 未定係数

Question

この方程式は解けるでしょうか？そしてどうやって？

y" = Ay + B

A と B は (実) 定数です。未定係数を試してみましたが、うまくいきませんでした。均質な部分は簡単です。

ありがとう。

Answer 1

ソリューションがフォームを持っていると仮定することから始めることができます

    y(x) = M*exp(sqrt(A)*x) + N*exp(-sqrt(A)*x) + C

指数部は同次方程式の解だからです。

これを微分方程式に代入して、C について解いてみましょう。

    y" = M*A*exp(sqrt(A)*x) + N*A*exp(-sqrt(A)*x)
    M*A*exp(sqrt(A)*x) + N*A*exp(-sqrt(A)*x) = 
        A*(M*exp(sqrt(A)*x) + N*exp(-sqrt(A)*x) + C) + B
    0 = A*C + B
    C = -B/A.

したがって：

    y = M*exp(sqrt(A)*x) + N*exp(-sqrt(A)*x) - B/A.

この例は、方程式に定数を追加するだけなのでうまくいきましたが、他の非同次微分方程式は、対応する同次方程式の解が得られれば、グリーン関数を使用して解くことができます。