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多重線形関数は、各変数に対して線形になるようなものです。たとえば、x1+x2x1-x4x3 は多重線形関数です。それらを扱うには、高速な割り当て、因数分解、および基本的な算術演算のための適切なデータ構造とアルゴリズムが必要です。

Matlab で多重線形関数を処理するためのライブラリはありますか?

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いいえ、それほどではありません。

たとえば、 interp2 と interpn には「線形」メソッドがあり、これはあなたが説明したように効果的です。しかし、それは供給されるものの限界についてです。そして、この形式のより一般的な関数には何もありません。

とにかく、このクラスの関数にはいくつかの重大な制限があります。たとえば、カラー画像処理に適用される場合、画像のニュートラルに影響を与えるため、非常に悪い選択であることがよくあります。そこでは、他の機能的な形式が強く好まれます。

もちろん、因数分解などの演算用のシンボリック ツールボックスは常にありますが、そのツールは速度の悪魔ではありません。

編集：（他の機能形式）

例として双一次形式を使用します。これは、双一次補間が選択されたときに Photoshop などのツールで採用されるスキームです。4 つのピクセルのグループ間の正方形の領域内には、次の形式があります。

f(x,y) = f_00*(1-x)*(1-y) + f_10*x*(1-y) + f_01*(1-x)*y + f_11*x*y

ここで、x と y は単位平方 [0,1]X[0,1] にわたって変化します。ここでは、正方形の四隅にある関数の値によってパラメーター化された関数として記述しました。もちろん、これらの値は、それらの位置のピクセル値として画像補間で与えられます。

前述のように、双一次内挿は確かに x と y で線形です。x または y のいずれかを固定すると、関数はもう一方の変数で線形になります。

興味深い質問は、単位正方形の対角線に沿って何が起こるかということです? したがって、ポイント (0,0) と (1,1) の間のパスをたどるとします。このパスに沿って x = y であるため、その式の y を x に置き換えて展開します。

f(x,x) = f_00*(1-x)*(1-x) + f_10*x*(1-x) + f_01*(1-x)*x + f_11*x*x
       = (f_11 + f_00 - f_10 - f_01)*x^2 + (f_10 + f_01 - 2*f_00)*x + f_00

したがって、主対角線に沿った二次多項式になります。同様に、もう一方の対角線をたどると、それも 2 次形式になります。したがって、この獣の「直線的」な性質にもかかわらず、直線的な経路に沿って真に直線的であるとは限りません。補間変数の軸に平行なパスに沿ってのみ線形です。

3 次元では、この関数の「線形」名にもかかわらず、主な対角線はそのパスに沿って立方体の動作を示すようになります。

これらの対角線が重要なのはなぜですか? 対角線に沿って何が起こるか? マッピングが RGB カラー スペースから他のスペースへの色を取得する場合、画像のニュートラルはパス R=G=B に沿って存在します。これが立方体の対角線です。問題は、画像をニュートラル グラデーションで補間すると、色空間変換後の結果にグラデーションが表示され、グラデーションが立方体を次々と対角線に沿って移動するにつれて、ニュートラルからニュートラル以外の色に移動することです。悲しいことに、人間の目は中立性との違いを見ることができるため、この動作は非常に重要です。(ちなみに、これはカラー インクジェット プリンターの内部で起こっていることなので、人々は気にかけています。)

選択された代替案は、単位正方形を三角形のペアに分割し、その主対角線に沿ってエッジを共有することです。線形補間は三角形の内側で機能するようになり、そのエッジに沿って、補間は純粋にその共有エッジの端点の関数になります。

3 次元でも同じことが起こりますが、単位立方体を 6 つの四面体に分割することを除いて、すべてが立方体の主対角線を共有します。この違いは非常に重要であり、ニュートラル勾配からニュートラルへの偏差が劇的に減少します。結局のところ、目は他の勾配に沿った偏差にそれほど敏感ではないため、他のパスに沿った損失はほとんど影響しません. 重要なのはニュートラルであり、可能な限り正確に再現しなければならない色です。

したがって、一般に 3-d ルックアップ テーブルと呼ばれるものによって定義されたマッピングを使用して色空間補間を行う場合、これがその補間を行う合意された方法です (ICC、International Color Consortium の頭字語によって合意されています)。

于 2013-03-22T12:44:49.747 に答える