R : で非正方線形システムを解く方法はA X = B?
(系に解がないか、解が無限にある場合)
例 ：
A=matrix(c(0,1,-2,3,5,-3,1,-2,5,-2,-1,1),3,4,T)
B=matrix(c(-17,28,11),3,1,T)
A
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 0 1 -2 3
[2,] 5 -3 1 -2
[3,] 5 -2 -1 1
B
[,1]
[1,] -17
[2,] 28
[3,] 11
行列 A の行数が列数よりも多い場合、最小二乗法を使用する必要があります。
行列 A の行数が列数より少ない場合、特異値分解を実行する必要があります。各アルゴリズムは、仮定を使用してソリューションを提供するために最善を尽くします。
SVD をソルバーとして使用する方法を示すリンクを次に示します。
http://www.ecse.rpi.edu/~qji/CV/svd_review.pdf
それをあなたの問題に適用して、うまくいくか見てみましょう:
入力行列Aと既知の RHS ベクトルB:
> A=matrix(c(0,1,-2,3,5,-3,1,-2,5,-2,-1,1),3,4,T)
> B=matrix(c(-17,28,11),3,1,T)
> A
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 0 1 -2 3
[2,] 5 -3 1 -2
[3,] 5 -2 -1 1
> B
[,1]
[1,] -17
[2,] 28
[3,] 11
A行列を分解しましょう:
> asvd = svd(A)
> asvd
$d
[1] 8.007081e+00 4.459446e+00 4.022656e-16
$u
[,1] [,2] [,3]
[1,] -0.1295469 -0.8061540 0.5773503
[2,] 0.7629233 0.2908861 0.5773503
[3,] 0.6333764 -0.5152679 -0.5773503
$v
[,1] [,2] [,3]
[1,] 0.87191556 -0.2515803 -0.1764323
[2,] -0.46022634 -0.1453716 -0.4694190
[3,] 0.04853711 0.5423235 0.6394484
[4,] -0.15999723 -0.7883272 0.5827720
> adiag = diag(1/asvd$d)
> adiag
[,1] [,2] [,3]
[1,] 0.1248895 0.0000000 0.00000e+00
[2,] 0.0000000 0.2242431 0.00000e+00
[3,] 0.0000000 0.0000000 2.48592e+15
鍵は次のとおりです。 の 3 番目の固有値dは非常に小さいです。逆に、 の対角要素adiagは非常に大きいです。解く前に、ゼロに等しく設定します。
> adiag[3,3] = 0
> adiag
[,1] [,2] [,3]
[1,] 0.1248895 0.0000000 0
[2,] 0.0000000 0.2242431 0
[3,] 0.0000000 0.0000000 0
それでは、解を計算してみましょう (上記のリンクのスライド 16 を参照してください)。
> solution = asvd$v %*% adiag %*% t(asvd$u) %*% B
> solution
[,1]
[1,] 2.411765
[2,] -2.282353
[3,] 2.152941
[4,] -3.470588
解決策が得られたので、それを元に戻して、同じ結果が得られるかどうかを確認しましょうB。
> check = A %*% solution
> check
[,1]
[1,] -17
[2,] 28
[3,] 11
それはBあなたが始めた側なので、私たちは良いと思います。
これは、AMS からのもう 1 つの素晴らしい SVD ディスカッションです。