math - より単純な形式の 2 次元アルゴリズムでの TULIP 三辺測量

Question

このリンクで 2-D で三辺測量を行うアルゴリズムを見つけました。しかし、数式が複雑すぎます。ここで何が起きてるの？内積、外積、距離などの用語に分解していただけますか?

Answer 1

Pを未知点とする。(2D ベクトルの太字。)

円 1 と 2 の暗黙の方程式を書きます。

( P - P1 )² = d1²

( P - P2 )² = d2²

メンバーごとに減算して再配置します。

2.( P2 - P1 )。P = d1² - d2² + P2² - P1²

円 1 と 3 についても同様です。

2.( P3 - P1 )。P = d1² - d3² + P3² - P1²

よく見ると、これが 2 つの未知数の 2 つの線形方程式系を形成していることに気付くでしょう。

2.(X2 - X1).X + 2.(Y2 - Y1).Y = d1² - d2² + P2² - P1²

2.(X3 - X1).X + 2.(Y3 - Y1).Y = d1² - d3² + P3² - P1²

クラメールの規則を使用するか、どうしてもベクトル計算を使用する場合は、次のように計算してください。

システムを次のように書き換えます。

AP = a

BP = b

外積A' = A /\ 1zおよびB' = B /\ 1zを使用して、xy 平面でAおよびBに垂直なベクトルを計算し、これらの線形結合としてPを表します。

P = u . A' + v . B'

AとBでドット積を実行すると、単純化後に次のようになります。

AP = a = v . AB'

BP = b = u . バ'

AB' = A. ( B /\ 1z ) = 1zであることに注意してください。( A /\ B ) = - 1z. ( B /\ A ) = - B. ( A /\ 1z ) = - BA' (混合製品)。

概して：

P = [ (- b. A + a. B ) /\ 1z ] / [ 1z. ( A /\ B ) ]

(これは Cramer の結果を書き直したものです。)