math - 4 つの境界曲線から双三次クーン パッチを作成する

Question

4 つの境界曲線 s1(u), s2(u) q1(v), q2(v) から s coons patch surface を作成したい

方程式は次のとおりであることを知っています (プレゼンテーションからのスクリーンショットを追加)。

完全に理解されていない方程式のいくつかの部分があり、適切な説明が見つかりませんでした。

1. s1(u,v) において、p1v(u) と p2v(u) の意味は何ですか? s2(u,v) の q1u(v) と q2u(v) も同様です。

2. A 行列で、A00(u,v)..A11(u,v) の意味は何ですか。p1、p2 が u のみの関数であり (v ではない)、q1、q2 が v のみの関数である場合、これらのパラメーターの値はどうなるでしょうか。

この問題について何か助けていただければ幸いです。

Answer 1

基本的に、彼らは導関数または部分導関数を示すために上付き文字を使用しています。

双三次クーンズ パッチを構築しているので、三次エルミート スプラインを使用します。これらには、入力として位置と接線の両方が必要です。したがって、最初のエッジの場合、P ₁ (u) は曲線のパラメータ化であり、P ₁ ^v (u) はエッジを横切る接線です。サーフェスの任意のポイントには、実際には 2 つの接線があり、もう 1 つはエッジに沿った P ₁ ^u (u) であり、dP ₁ (u) / du となります。

A 行列の場合、これはパッチと導関数の 4 つの頂点をとります。点 A ₀₀については、2 つの 1 次導関数 ∂S / ∂u = A ₀₀ ^uおよび ∂S / ∂v = A ₀₀ ^uと、2 次導関数の 1 つ ∂<sup>S / ∂u ∂v = A ₀₀ ^uvを使用します。 . (ここでは、サーフェスを定義する関数に S for を使用しました)。エッジに沿った曲線の導関数はコーナーでの導関数と一致する必要があるため、さらにいくつかの条件があります。

• A ₀₀ ^u = ∂S / ∂u = P ₁ ^u (0) = Q ₁ ^u (0) = dP ₁ / du (0)
• A ₀₀ ^v = ∂S / ∂v = P ₁ ^v (0) = Q ₁ ^v (0) = dQ ₁ / dv (0)
• A ₀₀ ^uv = ∂<sup>2S / ∂u∂v = ∂P ₁ ^v /∂u (0) = ∂Q ₁ ^u /∂u (0)