2D平面上の点を単位球に変換する数学的変換を探してい[0,1]x[0,1]ます。
最も一般的な投影法は、uとvを球座標の角度として解釈することによる緯度経度マッピングです (とにマップuします) 。[0,2PI]v[-PI/2, PI/2]
これにより、球の極に強い歪みが生じます。この変換は、両端で紙をくるくると巻いてボンボン紙に球体を包むようなものと考えることができます。これにより、これらの両端に歪みが生じます。
私が探している変換は、球体を紙の真ん中に置き、球体の周りにすべての側面を置き、それらを 1 つの場所で一緒に回転させるという評価者の考えです。つまり、球体が入った小さな紙袋を手に入れることができます。 . これにより、「バッグ」の底部の歪みが最小になり、上部の歪みが最大になります。下から見た場合、歪みはすべての方向で等しくなります。
この種のマッピングを計算する方法を教えてもらえますか?
説明するマッピングでは、極座標を使用できます: (x,y)-->(r,alpha)、ここで r は [0,1] で、長方形の中心からの距離の比率を表します O( 0.5,0.5) から現在の点 P(x,y) まで、およびこのセグメントがアルファの現在の値で持つことができる最大長。次に、r を [-PI/2, PI/2] に、アルファを [0,2PI] にマッピングします。
Exponential Mapを探していると思います。離散指数マップを使用したインタラクティブなデカールの合成も参照してください。
正しい答えは、オリジナルのどのプロパティを保持する必要があるかによって異なります。それぞれの地図投影法はそれぞれ異なる方法で歪むからです。領域を維持するものもあれば、角度を維持するものもあれば、距離を維持するものもあります。
ケースが形状に関するものであると仮定すると、Dymaxion マップをお勧めしますが、その平面表現は完全に長方形ではないことに注意してください。
その他のオプションについては、コロラド大学のリストを参照してください。
0 から 1 までの xy 軸 (つまり、第 1 象限) を使用して問題のスケッチを作成する場合、同じ原点を使用して、0 から pi/2 までの軸で投影された第 1 オクタントを描画します。原点から点 (1,1) をマークすると、原点からのこの点の大きさはルート (2) になります。ポイント (1,1) が球の外側に表示されるため、球にマップできないことがわかります。