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ある変数の初期条件が与えられている微分方程式の平面系を解きたいのですが、システムが平衡に向かって収束することを確認するために、他の変数の初期条件を決定する必要があります。均衡が鞍点安定である場合 (これは、経済学で分析される最適制御問題から生じるシステムにとって重要です)、収束を達成するためのこの変数の固有の初期値が存在します。したがって、システムを解くことができるようにするために、そのような初期値をどのように決定するかが主な問題です。R を使用してそのような初期条件の値を決定し、システムを解くことは可能ですか?

システムは次のとおりです。

x' = sqrt(x)-x -y

y' = y*((sqrt(x))^(-1)-1)

x と y は非負です。分析は、x と y の両方が厳密に正である一意の平衡が存在することを示唆し、ヤコビ行列の分析は、一方の固有値が正で、もう一方が負であることを示しているため、平衡は鞍点安定です。x(0) が与えられた場合、たとえば 1 に等しい場合、システムが (x,y) の正の平衡値に収束するように y(0) の値を決定するにはどうすればよいでしょうか? x と y の一意の収束動的パスをシミュレートできるようにしたいと考えています。誰かがこれで私を助けることができますか?

deSolve を使用すると、システムを簡単に解くことができますが、x(0) と y(0) を指定する必要があります。deSolve または他のパッケージを使用して、y(0) の値を決定し、y がその平衡値に向かって収束できるようにすることはできますか? おそらく、初期条件 y(0) を推測して再調整するには、シューティング アルゴリズムに頼る必要がありますが、これがどのように行われるかはわかりません。

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あなたがしたいことは、「サドルの安定多様体」を計算することです。

  1. ヤコビアン をJ平衡で計算し、xStar
  2. の固有値と固有ベクトルを求めるJ
  3. を初期条件として使用しますy0 = Xstar - eps * eigenvector。ここで、eigenvectorは の負の固有値に対応する固有ベクトルJでepsあり、非常に小さい数です (例: eps = 1e-7)
  4. ダイナミクスを逆時間でシミュレートします。たとえば、lsoda で times = seq(-10,0, by=.1) とします。
  5. 手順 3 と 4 を繰り返しますが、初期条件は次のとおりです。y0 = Xstar + eps * eigenvector
于 2016-12-25T10:28:00.183 に答える