math - 1対1で機能し、セットから別のセットに機能します

Question

XからYまでの1対1の関数がある場合、YからXまでのon関数があることをどこかで見ました。理解できません!! 誰かが説明できますか？

Answer 1

これは、XとYを表す2つの円を描くことで視覚化できます。円内のドットは、各セットの要素を表します。

矢印は、関数または「マッピング」を表します。

つまり、1-1は、X円のすべてのドットがY円の一意のドットにマップされることを意味します。

Ontoは、すべてのドットに矢印が付いていることを意味します。写真を見ると、Xは明らかにYの上にありません。矢印が入っていない2つのドットがあります。

次に、線の矢印を反転して「逆」マッピングを確認します。

逆変換では、Xのすべての要素にYからの要素が少なくとも1つあることに注意してください。それがあなたの質問に対する答えです。最初の画像（ XからY ）の1-1は、2番目の画像（YからX）が上になければならないことを意味します。

全射に関するウィキペディアの記事では、これについてさらに詳しく説明しています。

Answer 2

Xのすべての要素がYの個別の要素に写像されている場合、関数F：X→Yは（単射とも呼ばれます）になります。

∀x∈X、∃y∈Y| f（x）= y; x ₁ ≠x2⇒f _（ x ₁）≠f（x ₂）

Yのすべての要素がそれにマップするXの要素を持っている場合、それは（別名全射）になります：

∀y∈Y、∃x∈X| y = f（x）

そして、Fが1対1（別名全単射）であるためには、これらの両方が真でなければなりません。したがって、定義上、1対1の関数はintoとonの両方になります。

しかし、あなたは「YからXまでの全射が存在しなければならない」と言います。「YからXへ」の部分はあなたをつまずかせているものかもしれませんか？Fは上にありますが、XからYまでです。YからXへのonto関数は、Fの逆関数です。これも全単射でなければならず、したがって上になります。

一部の著者は、「全単射」ではなく「単射」の同義語として「1対1」を使用しています。この不一致は紛らわしいですが、私たちはそれに固執しています。ただし、どちらの定義でも、Fの逆関数が存在し（すべての単射関数には逆関数があります）、全射です（FはXのすべての要素に対して定義されるため、Fの逆関数はYの一部の要素をXのすべての要素にマップします）。