直感に反するので、これは良いものです。
3 分の 2 が同じ色で、3 分の 1 が別の色のボールで満たされた壷を想像してみてください。ある人が骨壷から 5 個のボールを取り出したところ、4 個が赤で 1 個が白であることがわかりました。別の人が 20 個のボールを描いたところ、12 個が赤で 8 個が白であることがわかりました。壷に赤いボールが 3 分の 2 と白いボールが 3 分の 1 入っていることを確信できるのは、2 人のうちどちらでしょうか? 各個人はどのオッズを与えるべきですか?
正解はわかっていますが、オッズの計算がよくわからないかもしれません。誰でも説明できますか？
Eliezer Yudkowskyは、ベイズの定理について（本当に、本当に長いですが、良い）説明をしています。約70％ダウンして、この問題の核心を説明する「目の前にブックバッグがあります」で始まる段落があります。
パンチラインは、重要なのは、描かれた赤と白のボールの数の違いです。したがって、他の人が言っていることに反して、あなたは計算をする必要はありません。（これは、（a）ボールが交換で描かれる、または（b）壷にボールがたくさんあるという合理的な仮定のいずれかを行っています。ボールの数は関係ありません。）引数は次のとおりです。
ベイズの定理を思い出してください：P（A | B）= P（B | A）* P（A）/ P（B）。（用語に関する注記：P（A）は前であり、P（A | B）は後です。Bはあなたが行った観察であり、用語は観察の前後の自信を反映しています。）この形式の定理は次のとおりです。結構です、そして@bobinceと@AdamRosenfieldはそれを正しく適用しました。ただし、このフォームを直接使用すると、算術エラーの影響を受けやすくなり、実際には心を伝えません。ベイズの定理の。アダムは彼の投稿で（そして私が上で述べたように）重要なのは「方程式で他のすべてが相殺される」ので、描かれた赤と白のボールの数の違いであると述べました。計算を行わずにこれをどのように確認できますか？
オッズ比と尤度比の概念を使用できます。オッズ比とは何ですか？さて、P（A）とP（¬A）について考える代わりに、それらの比率P（A）：P（¬A）について考えます。どちらももう一方から回復可能ですが、正規化する必要がないため、オッズ比を使用すると算術演算がうまく機能します。さらに、ベイズの定理を別の形式で「取得」する方が簡単です。
正規化する必要がないというのはどういう意味ですか、また代替形式は何ですか？さて、計算してみましょう。ベイズの定理によると、事後確率は
P（A | B）：P（¬A| B）=（P（B | A）* P（A）/ P（B））：（P（B |¬A）* P（¬A）/ P （B））。
P（B）は、確率の合計を1にするための正規化係数です。ただし、比率を使用しています。2：1と4：2のオッズは同じであるため、P（B）はキャンセルされます。たまたま次の要素を考慮した簡単な表現が残っています。
P（A | B）：P（¬A| B）=（P（B | A）* P（A））：（P（B |¬A）* P（¬A））=（P（B | A）：P（B |¬A））*（P（A）：P（¬A））
そこではすでに第2期について聞いたことがあります。それは以前のオッズ比です。P（B | A）：P（B |¬A）とは何ですか？これは尤度比と呼ばれます。したがって、最終的な式は次のようになります。
事後オッズ=尤度比*事前オッズ。
この状況でどのように適用しますか？さて、壷の内容に事前確率x：yがあり、xは赤の2/3を表し、yは白の2/3を表すとします。赤いボールを1つ描いたとします。尤度比はP（赤いボールを描いた|壷は2/3の赤）：P（赤いボールを描いた|壷は2/3の白）=（2/3）：（1/3）= 2：1。事後オッズは2x：y; 白いボールを引いた場合、同様の理由で事後オッズはx：2yになります。これを、すべてのボールに対して順番に実行します。ドローが独立している場合は、すべてのオッズ比を掛けるだけです。したがって、オッズ比x：yから始めて、r個の赤いボールとw個の白いボールを描くと、最終的なオッズ比は次のようになります。
（x：y）*（2：1）^ r *（1：2）^ w =（x * 2 ^ r）：（y * 2 ^ w）=（x：y）*（2 ^（rw） ：1）。
したがって、重要なのはrとwの違いだけであることがわかります。また、問題を簡単に解決することもできます。最初の質問（「誰がより自信を持っている必要がありますか？」）の場合、事前確率は、1：0または0：1でなく、両方の人が同じ事前確率を持っている限り、重要ではありません。実際、同じ前者がx：yの場合、最初の人の後部は（2 ^ 3 * x）：yになり、2番目の人の後部は（2 ^ 4 * x）：yになるので、2人目の人はもっともちろん。
さらに、事前確率が均一、つまり1：1であると仮定すると、最初の人の後方は8：1になり、2番目の人の後方は16：1になります。これらを8/9と16/の確率に簡単に変換できます。 17、他の計算を確認します。
ここでのポイントは、上記の太字の方程式が得られれば、この問題は非常に簡単であるということです。しかし、重要なこととして、あなたはあなたがそうする必要がほとんどないので、あなたがどんな算術も台無しにしないことを確信することができます。
したがって、これはプログラミングの悪い質問ですが、太字の方程式の良いテストです。練習のために、さらに2つの問題に適用してみましょう。
私は2つのコイン、公正なコインまたは偽の双頭コインのいずれかをランダムに選択します。それぞれの確率は50％です。私はそれを3回ひっくり返し、それは3回すべて頭に浮かびます。それが本物のコインである確率はどれくらいですか？
問題で述べられているように、事前確率は実数：偽= 1：1です。本物のコインで3つの頭を見た確率は1/8ですが、偽のコインでは1なので、尤度比は1：8です。したがって、事後オッズは=事前確率*尤度= 1：8です。それが本物のコインである確率は1/9です。
この問題はまた、重要な警告を引き起こします。考えられるすべての観測に対して、おそらく異なる尤度比があります。これは、Bの尤度比がP（B | A）：P（B |¬A）であるためです。これは、必ずしも¬Bの尤度比であるP（¬B| A）：P（¬ B |¬A）。残念ながら、上記のすべての例では、それらは互いに逆になっていますが、ここではそうではありません。
確かに、私が一度コインを裏返し、尾を引くとしましょう。それが本物のコインである確率はどれくらいですか？明らかに1つ。ベイズの定理はどのようにチェックアウトしますか？さて、この観察の尤度比は、本物のコインと偽のコインでこの結果を見る確率であり、1/2：0 = 1：0です。つまり、単一の尾を見ると、コインが存在する確率が失われます。私たちの直感でチェックアウトする偽物。
Eliezerのページから私が言及した問題は次のとおりです。
目の前には、1,000個のポーカーチップが入ったブックバッグがあります。私はそのような2つのブックバッグから始めました。1つは700の赤と300の青のチップを含み、もう1つは300の赤と700の青を含みます。使用するブックバッグを決定するために公正なコインを裏返したので、目の前のブックバッグが赤いブックバッグである確率は50％です。ここで、ランダムにサンプリングし、各チップの後に交換します。12のサンプルでは、8つの赤と4つの青が得られます。これが主に赤いバッグである確率はどれくらいですか？（正確である必要はありません。概算で十分です。）
事前確率は赤：青= 1：1です。尤度比は7：3と3：7であるため、事後確率は（7：3）^ 8 *（3：7）^ 4 = 7 ^ 4：3です。 ^4。この時点で、7：3を2：1と見積もると、2 ^ 4：1 = 16：1になります。最終的な答えはさらに大きいので、95％程度よりも確実に大きくなります。正解は約96.7％です。これを、70〜80％の範囲にあるほとんどの人の回答と比較してください。
この観点から見ると、問題が本当に簡単に、そして直感的になることに同意していただければ幸いです。
Aをボールの2/3が赤のイベントとし、¬Aをボールの2/3が白のイベントとします。Bを最初のオブザーバーが5個のうち4個の赤いボールを見るイベントとし、 Cを2番目のオブザーバーが20個のうち12個の赤いボールを見るイベントとします。
いくつかの簡単な組み合わせ論を適用すると、
したがって、ベイズの法則から、オブザーバー1の信頼水準は80 /（80 + 10）= 8/9であり、Aは真です。
2番目のオブザーバーの場合：
したがって、ベイズの法則から、オブザーバー2の信頼水準は2 12 /（2 12 + 2 8）= 16/17であり、Aは真です。
したがって、オブザーバー2の信頼水準は高く、ボールの2/3が赤です。重要なのは、ベイズの定理がどのように機能するかを理解することです。実際、重要なのは、観察された赤と白のボールの数の違いです。他のすべて（具体的には、描かれたボールの総数）は方程式で相殺されます。
1 つの仮説と他の仮説の「アプリオリな」確率は 1/2 であり、さらに、両方の個人が各ボールを抽出した後に再挿入すると仮定します (抽出は互いに独立しています)。
正解は、2 番目のオブザーバーが最初のオブザーバーより自信を持っている必要があるということです。私の以前の回答は、計算の些細なエラーが原因で間違っていました。Adam Rosenfield の修正に感謝し、+1 しました。
2/3R 1/3Wは「赤玉が 2/3、白玉が 1/3 入っている」というイベントを表し、 4R,1Wは「赤玉が 4 個、白玉が 1 個取り出される」というイベントを表すものとします。次に、ベイズの法則を使用して、
P[ 2/3R 1/3W | 4R,1W ] = P[ 4R,1W | 4R,1W | 2/3R 1/3W ] P[ 2/3R 1/3W ] / P[ 4R,1W ] = (2/3) 4 (1/3) 1 (1/2) / P[ 4R, 1W ]
さて、2/3R 1/3Wと1/3R 2/3Wは仮説により補完関係にあるので、
P[ 4R,1W ] = P[ 4R,1W | 2/3R 1/3W ] P[ 2/3R 1/3W ] + P[ 4R,1W | 1/3R 2/3W ] P[ 1/3R 2/3W ] = (2/3) 4 (1/3) 1 (1/2) + (1/3) 4 (2/3) 1 (1/ 2)
したがって、
P[ 2/3R 1/3W | 4R,1W ] = (2/3) 4 (1/3) 1 (1/2) / { (2/3) 4 (1/3) 1 (1/2) + (1/3) 4 (2 /3) 1 (1/2) } = 2^4 / (2^4 + 2) = 8/9
P[ 2/3R 1/3W | 12R,8W ] (つまり、(2/3) 4 (1/3) 1の代わりに ( 2/3) 12 (1/3) 8を持つ) は16/17を生成するため、2 番目のオブザーバーの信頼度は最初のもの。
P[2/3R 1/3W | 4R、1W] = (2/3)^4 * (1/3)^1 * (1/2) / { (2/3)^4 * (1/3)^1 * (1/2) + (1/3)^4 * (2/3)^1 * (1/2) } = 2^4 / (2^4 + 1) = 16/17
ええと、
= ⅔^4*⅓ / (⅔^4*⅓ + ⅓^4*⅔)
= 16/243 / (16/243 + 2/243)
= 16/18
ただし、P(2/R⅓W | 12R8W) は実際には = 16/17 なので、12R8W の方が信頼性が高くなります。