高密度線形代数の一般的な実際のアプリケーションは何ですか？
多くの問題は、人間とコンピューターの間の共通言語として線形代数を使用して簡単に記述し、効率的に計算できます。多くの場合、これらのシステムは、密な行列ではなく、疎な行列の解を必要とします。このルールに反する一般的なアプリケーションは何ですか？
コミュニティがLAPACKのようなDLAパッケージを改善するためにさらに時間を費やすべきかどうか興味があります。計算が制約されたアプリケーションでLAPACKを使用するのは誰ですか？LAPACKを使用して、並列処理を必要とする大きな問題を解決するのは誰ですか？
具体的には、密な線形代数の能力が不十分なために今日解決できない問題は何ですか。
これは、実際の意味によって異なります。私にとっての現実世界は物理学なので、最初に物理学の分野を紹介し、次に分岐します。物理学では、ハミルトニアンと呼ばれる行列の固有値と固有ベクトルを見つける必要があることがよくあります（基本的にシステムのエネルギーに関する情報が含まれています）。これらの行列は、少なくともブロック単位で密集している可能性があります。これらのブロックは非常に大きくなる可能性があります。これは別のポイントをもたらします。スパース行列はブロック内で密になる可能性があるため、各ブロックに密な線形代数ソルバーを使用するのが最適です。
システムの密度行列と呼ばれるものもあります。ハミルトニアンの固有ベクトルを使用して見つけることができます。私が使用する1つのアルゴリズムでは、これらの密度行列の固有ベクトル/値を見つけることがよくあり、密度行列は少なくともブロック内で密です。
この記事で説明したように、高密度線形代数は材料科学や流体力学でも使用されます。これは、それらが使用される別の分野である量子化学にも関係しています。
高密度線形代数ルーチンは、荷電粒子の量子散乱を解決するためにも使用されており（リンクされた記事ではそうは言われていませんが、使用されました）、宇宙マイクロ波背景放射を分析します。より広義には、アンテナの設計、医療機器の設計、飛行機のレーダーシグネチャの決定/削減など、現実の問題に関連する一連の電磁問題の解決に使用されます。
もう1つの非常に現実的なアプリケーションは、カーブフィッティングのアプリケーションです。ただし、より広い範囲を持つ線形代数を使用する以外の方法があります。
要約すると、密な線形代数はさまざまなアプリケーションで使用され、そのほとんどは科学または工学に関連しています。
ちなみに、多くの人が以前も現在も、グラフィックカードを使用して計算を行うものを含む高密度の線形代数ライブラリに多大な努力を払っています。
線形回帰の多くの方法では、大きくて密度の高いデータ行列を大幅に持ち上げる必要があります。私が考えることができる最も簡単な例は、ムーア・ペンローズ疑似逆法を使用した線形最小二乗です。
スパースソルバーは長期的にはより有用かもしれませんが、密な線形代数はスパースソルバーの開発に不可欠であり、実際に無視することはできません。
ある意味では、Andrew Coneの例の特殊なケースですが、カルマンフィルターは、観測モデル行列と遷移行列がまばらである場合でも、通常、密な状態誤差共分散行列を持っています。