既知の長さの2つのベクトルu、v間の角度アルファは、それらの内側（内積）<u、v>から見つけることができます。
cos（alpha）= <u、v> /（|| u || || v ||）
つまり、アルファの正弦は、2つのベクトルの内積をそれらの長さの積で割ったものです。
したがって、3番目のzコンポーネントはゼロ以外の値にすることができます。角度を正しく取得した後で軸ベクトルの一部またはすべてをスケーリングしても角度は変わらないので、（たとえば）Cz=1と仮定しましょう。
ここで、最初の2つのベクトルはA =（1,0,0）およびB =（cos（gamma）、sin（gamma）、0）になる可能性があります。これらは両方とも長さが1であるため、Cを選択する際に満たす2つの条件は次のとおりです。
cos（alpha）= <B、C> / || C ||
cos（beta）= <A、C> / || C ||
これで、解決する未知数はCxとCyの2つだけになります。簡単にするために、これらをxおよびyと呼びます。つまり、C =（x、y、1）です。したがって：
cos（alpha）= [cos（gamma）* x + sin（gamma）* y] / sqrt（x ^ 2 + y ^ 2 + 1）
cos（beta）= x /（sqrt（x ^ 2 + y ^ 2 + 1）
最初の方程式を2番目の方程式で割ると（ベータが直角ではないと仮定します！）、次のようになります。
cos（alpha）/ cos（beta）= cos（gamma）+ sin（gamma）*（y / x）
これは、比率r = y/xを解くための線形方程式です。それができたら、上記の2番目の方程式にy = rxを代入し、2乗すると、xの2次方程式が得られます。
cos ^ 2（beta）*（（1 + r ^ 2）x ^ 2 + 1）= x ^ 2
cos ^ 2（beta）=（1-cos ^ 2（beta）*（1 + r ^ 2））x ^ 2
x ^ 2 = cos ^ 2（beta）/ [（1-cos ^ 2（beta）*（1 + r ^ 2））]
方程式を二乗することにより、xの符号の選択に対応するアーティファクトルートを導入しました。したがって、「元の」2番目の方程式でこれから得られるxの解をチェックして、cos（beta）の正しい符号が得られることを確認します。
追加した：
ベータが直角の場合、物事は上記よりも簡単です。x = 0が強制され、yの最初の方程式を解くだけで済みます。
cos（alpha）= sin（gamma）* y / sqrt（y ^ 2 + 1）
分母を2乗して乗算すると、前に行ったのと同様に、yの2次式が得られます。yの記号の選択を確認することを忘れないでください：
cos ^ 2（alpha）*（y ^ 2 + 1）= sin ^ 2（gamma）* y ^ 2
cos ^ 2（alpha）= [sin ^ 2（gamma）-cos ^ 2（alpha）] * y ^ 2
y ^ 2 = cos ^ 2（alpha）/ [sin ^ 2（gamma）-cos ^ 2（alpha）]
実際、角度alpha、beta、gammaのいずれかが直角である場合、計算を簡略化するために、その角度gamma（最初の2つのベクトルA、Bの間）にラベルを付けるのが最適な場合があります。