解く必要がある行列 (つまり、非正方) を構成する線形方程式のシステムがあります。または、システムに解がないことを示すためにNxM、少なくとも解こうとします。(おそらく、解決策はありません)
私が理解しているように、行列が正方でない場合 (過小決定または過小決定)、正確な解を見つけることはできません。これを考えるのは正しいですか? 行列を正方行列に変換して、ガウス消去法、クラメールの法則などを適用する方法はありますか?
私の未知数の係数がゼロである可能性があることに言及する価値があるかもしれないので、特定のまれなケースでは、ゼロ列またはゼロ行を持つことが可能です.
行列が正方形であるかどうかは、解空間を決定するものではありません。それを決定するのは、列の数と比較した行列のランクです (ランクゼロ定理を参照してください)。一般に、ランクとゼロの関係に応じて、方程式の線形システムに対してゼロ、1、または無限の数の解を持つことができます。
ただし、質問に答えるために、ガウス消去法を使用して行列のランクを見つけ、これが解が存在することを示している場合は、特定の解 x0 と行列の nullspace Null(A) を見つけることができます。次に、すべてのソリューションを x = x0 + xn として記述できます。xn は Null(A) の任意の要素を表します。たとえば、行列がフル ランクの場合、その nullspace は空になり、線形システムには多くても 1 つの解が含まれます。そのランクも行数と等しい場合、一意の解が 1 つあります。nullspace の次元が 1 の場合、解は x0 を通る直線になり、直線上の任意の点が線形方程式を満たします。
わかりました、最初に: 正方でない連立方程式は正確な解を持つことができます
[ 1 0 0 ][x] = [1]
[ 0 0 1 ][y] [1]
[z]
には明らかに解があります (実際には、解の 1 次元ファミリがあります: x=z=1)。システムが過小決定ではなく過決定であっても、解がある場合があります。
[ 1 0 ][x] = [1]
[ 0 1 ][y] [1]
[ 1 1 ] [2]
(x=y=1)。正確な解が存在する場合は正確な解を見つけ、存在しない場合は（ある意味で）「最良の」近似解を見つける最小二乗法を調べることから始めたいと思うかもしれません。
Ax = bm 列 n 行の A を使用して、 を取得します。多くの場合、未知数よりも多くの方程式がある(m より大きい n)ため、1 つだけの解があるとは限りません。これは、ノイズの影響に注意している私たちが実際に望んでいる繰り返しの測定によるものかもしれません。
実際に意味する解を見つけることができないと観察した場合、 A によってまたがる列空間を移動する b を見つける方法がないことを意味します。（xは列の組み合わせのみを取っているため）。
ただし、b に最も近い A で囲まれた空間内の点を求めることはできます。どうすればそのような点を見つけることができるでしょうか。平面上を歩くとき、その外側の点に最も近いのは、真下まで歩くことです。幾何学的に言えば、これは私たちの視線が平面に対して垂直であるときです。
これで、数学的定式化を行うことができます。垂直ベクトルは正射影を思い起こさせます。そして、それが私たちがやろうとしていることです。最も単純なケースでは、a.T b. しかし、行列全体を取得できますA.T b。
私たちの方程式では、両辺に変換を適用しましょう: A.T Ax = A.T b. 最後のステップは、 の逆数をA.T Aとって x を解くことです。
x = (A.T A)^-1 * A.T b
最小二乗法の推奨事項は非常に優れています。
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