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二次ベジエ曲線があり、特定の点での接線の勾配を計算したいと考えています。たとえば、2 次ベジエ曲線の中点とすると、t=0.5 になります (この図については、以下のリンクを参照してください)。二次ベジエ曲線の公式の一次導関数を計算しました。ただし、勾配の値として400を取得しますが、0である必要があります。最初の導関数を間違った方法で使用している可能性がありますか? 三角関数を使用して接線を計算することもできます。しかし、私は一次導関数を使用してそれを行いたいのですが、これは可能ではないでしょうか? ヒントをありがとう！

明確化のために/注意してください：始点と終点で接線を取得するだけでなく、二次ベジエ曲線上の任意の点で勾配を取得する一般的な方法に興味があります。

上記のテキストを含む私の問題の写真: http://cid-0432ee4cfe9c26a0.skydrive.live.com/self.aspx/%c3%96ffentlich/Quadratic%20Bezier%20Curve.pdf

ヒントをありがとうございました！

OpenType フォントのアウトライン データ (ベジェ曲線) を編集または完全に置き換える必要があります。入力データは、特定のスケーリングで otf ファイルの指定された 1 つのグリフに書き込む必要がある EPS ファイルです。(グリフは PostScript 名または Unicode 値で指定されます。)

エンコーダー (または OpenType のファイル構造のライブラリー) のようなものが必要ですか?
otf および ttf ファイルの構造についてはどこで確認できますか?

注: python 関連のツールとライブラリが実行されます :-?

デカルト軸の閉じた二次ベジエ曲線の境界ボックス (最大/最小ポイント) を見つけるアルゴリズムを探しています:

画像 http://www.imagechicken.com/uploads/1270586513022388700.jpg

注：上の画像は滑らかな曲線を示しています。それは滑らかではないかもしれません。(角があります)

phpとGDを使用してこの例を見て、小さな弧を描いたスパイラルを区分的にレンダリングしました。私がやりたいのは、可能な限り数学的に正確なスパイラルの近似をレンダリングすることです。

Inkscapeにはかなり見栄えのするスパイラルツールがありますが、プログラムで（できればPythonで）スパイラル生成を行いたいと思います。

スパイラル形状をネイティブにサポートする描画ライブラリ（Cairoなど）は見つかりませんでした。完全なアンチエイリアススパイラルをレンダリングしたい場合、キャンバス上でピクセルごとに反復し、各ピクセルが数学的に定義されたスパイラルアーム領域（有限の厚さ）内にあるかどうかを判断するのが最善の方法ですか？その場合、アンチエイリアシングロジックを最初から実装する必要もあります。各ピクセルボックス内にある曲線の部分を統合してから、塗りつぶされた領域と空の領域の比率をアルファ値に変換しますか？

この場合、レンダリングの品質はレンダリング時間よりも重要です。ただし、各ピクセルで積分を評価すると、かなり非効率的だと思います。

更新：私が尋ねるべき質問はこれだと思います（Yahoo Answersは失敗しました）。

変形せずに、ベジエ曲線に新しい制御点を挿入するアルゴリズムを探しています。

ベジエ アルゴリズム (挿入、最適化、de Casteljau ...) のライブラリまたはリファレンスを知っている人はいますか?

Google Maps API v3 を使用google.maps.Circleして、マップ上に複数のオブジェクトを作成できました。しかし、どうにかしてそれらを「接続」する必要があります。複数の円がある次のマップがあります。

私は今、それを次のようにする必要があります:

_{(ソース: pcwp.com )}

私は解決策を求めてインターネット全体を調べましたが、役に立ちませんでした。何か案は？

閉じたベジェ曲線（おそらく自己交差）をバイナリビットマップに変換するアルゴリズムが必要です。内側のピクセルは0、外側は1です。ベジェ曲線にいくつかの操作を実装する必要があるコードを書いていますが、誰かがベジェに関するリソースやチュートリアルを教えてもらえますか？ウィキペディアなどは、最適化、減算、結合、結び目の挿入と削除、およびその他の操作については何も述べていません:-)

代替テキストhttp://www.imagechicken.com/uploads/1271001073057545100.jpg

(startX, startY) から (anchorX, anchorY) として記述され、コントロール ポイント (controlX, controlY) を使用する 2 次ベジエ曲線があります。

2 つの質問があります。

(1) x 点に基づいてその曲線上の y 点を決定したい。

(2) 次に、ベジェ (ベジェ曲線上の 2 つの中間点 (startX'、startY'、anchorX'、anchorY') によって定義される) の線分が与えられた場合、その線分の制御点を知りたい元のベジエと正確に重なるようにします。

なんで？最適化のためにこの情報が必要です。水平ベジエをたくさん描いています。ベジエが画面よりも大きい場合、レンダリング エンジンは表示範囲を超えてレンダリングすることになるため、パフォーマンスが低下します。この質問への答えは、目に見えるものをレンダリングするだけです。

3 次ベジエ p1,p2,p3,p4 をライン p1,p4 に射影します。p2 または p3 が p1 と p4 の間の線分に投影されない場合、曲線はアンカー ポイントから膨らみます。曲線の接線がアンカー ラインに垂直な場合の T 値を計算する方法はありますか?

これは、投影された曲線が線分 p1、p4 の中心から最も離れている T 値を見つけることとも言えます。p2 と p3 が線分に投影されると、解はそれぞれ 0 と 1 になります。もっと興味深いケースを解くための方程式はありますか?

T 値は、アンカー ライン セグメントからマップされたコントロール ポイントまでの距離のみに依存するようです。

推測を精緻化することで値を決定できますが、もっと良い方法があることを願っています。

編集：

値 x1、y1、...、x4、y4 を持つ 2d の p1、..、p4 から始めて、Philippe からの回答に基づいて次のコードを使用します。

私が見たサンプルでは、​​正しくなる前に 1.0 から t2 を引く必要がありました。

次のプロパティを持つ3次ベジェ曲線P0、P1、P2、P3が与えられます。

•P1とP2の両方が、P0とP3によって形成される線の同じ側にあります。
•P2は、P0とP3によって形成される線分に投影できますが、P1は投影できません。

P3から最も遠い曲線上の点のT値はいくつですか？

これは、曲線の例を含む画像です。曲線は左側に膨らんでいるため、曲線上にはP0よりもP3から遠い点があります。

任意の点から曲線までの最小距離を見つけるためのこのリファレンスを見つけました。最大距離を解決する唯一の方法は試行錯誤ですか？ポイントがカーブ上のアンカーであることに違いはありますか？

ありがとう